Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Основні теореми про границі функції

У наведених раніше прикладах ми бачили, що знаходження границі функції на основі означення границі досить громіздке. Наведемо теореми, які значно полегшують знаходження границі функції.

Теорема 1 (про границю суми, різниці, добутку і частки). Якщо кожна із функцій та має скінчену границю при або при , то при ( ), існують також границі функцій , , (остання за умови, що ) і справедливі формули:

1) ,

2) ,

3) .

Доведемо, для прикладу, справедливість формули 1).

Нехай , , тоді за властивістю 2⁰ (п. 4.3) можна записати , , де , .

Звідси маємо .

За властивістю 3⁰ (п. 4.3) вираз у квадратних дужках є величиною нескінченно малою. Тоді, застосувавши до одержаного виразу ще раз властивість 2⁰ нескінченно малих, дістанемо відповідну формулу.

Наслідки. Якщо існує, то виконуються рівності:

1) , де С – стала;

2) , n – натуральне число.

Теорема 2 (Гур’єва).Якщо і , то .

Приклад 5.5. Знайти границю функції у будь-якій точці , де знаменник не дорівнює нулю.

Розв’язування. Згідно теореми 1 та наслідків до неї, маємо:

Зокрема, при , .

Приклад 5.6. Функція відповідає неперервному росту популяції бактерій від початкового розміру до граничного розміру. Знайдіть граничний розмір популяції.

Розв’язування. Знаходимо границю функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.