Розв’язок систем рівнянь. Розв’язок нелінійної системи рівнянь

Нелінійну систему рівнянь часто розв’язують з допомогою функції Find( ). Аргументами цієї функції вказуються змінні, відносно яких розв’язується система FIND (x1,x2, …).Число аргументів повинно бути рівним числу невідомих. Якщо у функцій вказаний лиш один аргумент, то вона повертає розв’язок одного рівняння. На рис. 5.2 наведений приклад розв’язку системи рівнянь з використанням функції Find( ).

Спочатку задають початкові наближення для всіх невідомих, тому що Mathcad використовує ітераційні методи розв’язку системи рівнянь. Далі вводять ключове слово Given, а за цим словом слідують рівняння та нерівності в будь-якій послідовності ( на рис. 5.2 – два рівняння). Між правою та лівою частиною рівнянь стоїть символ (логічне дорівнює). Цей символ можна ввести, скориставшись палеткою Boolean або акордом клавіш <Ctrl>+<=>.

Потім як задана система рівнянь, викликається функція Find( ), а її аргументами будуть змінні, стосовно яких система рзв’язується. Всередині блоку розв’язку рівнянь не допускаються вирази: обмеження знаком ; дискретний аргумент або вирази, що містять дискретний аргумент; нерівність виду a<b<c.

Функція Find( ) може бути використана, як і будь-яка інша функція, зокрема:

1) a:=Find(x) – результат скаляр;

2) var:=Find(var1,var2…) – результат вектор.

Це зручно тоді, коли результати розв’язку рівнянь потрібно використати в іншому місці робочого документа.

3) f(a,b,c,…):=Find(x,y,z,…). Ця конструкція зручна для багаторазового розв’язку рівнянь при різних значеннях деяких параметрів А,В,С,…, які безпосередньо входять у систему рівнянь.

Для розв’язування системи нелінійних рівнянь використовується також функція Minerr( ). Ця функція аналогічна функції Find( ). Аргументи цієї функції вказують змінні, відносно яких розв’язується система Minerr(x1,x2,…). Ця функція також використовує ітераційний алгоритм розв’язку. Різниця між функцією Given( ) полягає в тому, що, якщо в результаті пошуку розв’язку не може бути отримане наступне уточнене наближення, то функція Minerr( )повертає відповідь, яка мінімізує відповідний функціонал нев’язки. Однак функція Minerr( ) не може перевірити, чи реалізує відповідь абсолютний мінімум для функціонала нев’язки. Тому при використанні цієї функції потрібно завжди включати додаткову перевірку достовірності отриманих результатів, рис.5.3.

Приклад. Розв’язати систему нелінійних рівнянь:

sin(x+2) – 3 y = 1.2

2 x – sin(y – 0.5) = 1

Для розв’язку цієї системи побудуємо графіки залежності y(x) та f(y).Для цього проведемо елементарні перетворення рівнянь, записавши невідомі змінні як функції:

f2(x):=(sin(x+2)-1.2)/3 та f1(y):=(1+sin(y-0.5))/2.

Побудувавши графіки отриманих функціональних залежностей, знаходимо наближено координати точки перетину функцій, які і будуть початковим наближенням коренів системи рівнянь. Далі уточнюємо значення коренів системи рівнянь, скориставшись функцією minerr( ), рис.5.3.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь записується в матричному вигляді як AX=B,тут А – квадратна матриця коефіцієнтів системи, а Х та В – вектори невідомих змінних і правих частин рівнянь відповідно.

Тоді розв’язок системи, яким є вектор невідомих Х, можна визначити як добуток матриці, оберненої до матриці коефіцієнтів на вектор правих частин, тобто X=A^-1B.

Систему лінійних рівнянь зручно розв’язувати також з допомогою функції lsolve( )в виглядіX=lsolve(A,B).

На рис 5.4. наведений приклад розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь третього порядку з використанням оберненої матриці та функції lsolve( ).

При розв’язуванні системи лінійних рівнянь не рекомендується використовувати функцію FIND( ), тому що значення коренів системи залежить від початкового