Щільність імовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y), f(x, y) та її властивості

Характеристикою системи неперервних випадкових величин є щільність імовірностей.

Для визначення щільності ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) застосовується формула (129).

Розглянемо прямокутник зі сторонами Dх та Dу (рис. 66).

Рис. 66

Імовірність розміщення системи (Х, Y) у прямокутній області
(x < X < x + Dx, y < Y < y + Dy) обчислюється за формулою

P(x < X < x + Dx, y < Y < y + Dy) =
= F(x + Dx, y + Dy) + F(x, y) – F(x + Dx, y) – F(x, y + Dy).

Поділивши цю ймовірність на площу прямокутника Dx, Dy і спрямувавши Dx ® 0, Dy ® 0, дістанемо ймовірність у точці, тобто щільність:

(130)

Функція f (x, y) може існувати лише за умови, що F (x, y) є неперервною за аргументами х і у та двічі диференційовною.

Функції f (x, y) у тривимірному просторі відповідає певна поверхня — так звана поверхня розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y).

Тоді f (x, y) dxdy — імовірність розміщення системи двох випадкових величин у прямокутнику зі сторонами dx, dy.

Властивості f (x, y)

1. Функція f (x, y) ³ 0, оскільки F(x, y) є неспадною відносно аргументів х і у.

2. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) така:

(131)