Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Основні поняття

Протягом всього курсу алгебри декілька разів відбувається збагачення запасу чисел. Зокрема, множина Z цілих чисел була розширена множиною Q раціональних чисел, та, в свою чергу, множиною R дійсних чисел. Необхідність таких розширень грунтується на відсутності в попередніх множинах розв’язків певних типів рівнянь. Так, в першому випадку це були, наприклад, рівняння ax=b, де а,bZ, в другому – рівняння axⁿ=b, де a,bQ, nN. Ще один тип рівнянь, зокрема, х²+1=0, змушує розширити множину дійсних чисел, оскільки в ній коренів цього рівняння не існує.

В ролі елементів нової множини чисел виберемо точки площини. Нехай на площині вибрана прямокутна система координат. Точки площини позначатимемо буквами α,β,γ,… і записуватимемо точку α з абсцисою а і ординатою b через α = (a,b).

Сумою точок α = (a,b) і β = (c,d) назвемо точку α+β з абсцисою а+с і ординатою b+d, тобто

α+β = (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d).

Добуткомцих же точок назвемо точку α·β з абсцисою ас-bd і ординатою ad+dc, тобто

α·β = (a,b)·(c,d) = (ac-bd, ad+bc).

Пряма перевірка підтверджує, що множина точок площини із вибраними таким чином операціями додавання і множення утворює поле. Це числове поле (в якому числа зображаються точками площини) названо полем комплексних чисел. Якщо точці (а,0) осі абсцис поставити у відповідність дійсне число а, то отримається взаємно однозначна відповідність (ізоморфізм) між точками осі абсцис і множиною дійсних чисел, причому операції додавання і множення точок осі абсцис і дійсних чисел аналогічні.

(а,0)+(b,0) = (a+b,0),

(а,0)·(b,0) = (ab,0).

Тому не розрізнятимемо точку (а,0) та дійсне число а і вважатимемо (а,0) = а. Отже, поле комплексних чисел містить підмножину точок осі абсцис, ізоморфну полю дійсних чисел, тобто є його розширенням.

Покажемо, що це розширення містить корені рівняння х²+1=0, тобто елемент, квадрат якого рівний -1. Розглянемо точку (0,1), яка лежить на осі ординат на відстані 1 вгору від початку координат, і знайдемо її квадрат: (0,1)·(0,1) = (-1,0) = -1. Позначають точку (0,1) буквою і. Отже, і²= -1.

Отримаємо для побудованих комплексних чисел звичайний запис:

(a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+b·(0,1) = a+bi.

Ця форма запису комплексного числа називається алгебраїчною.

В записі комплексного числа число а називають його дійсною частиною (позначають Reα), а число bi – його уявною частиною (позначають Imα).

Площина, точки якої ототожнені з комплексними числами, названа комплексною площиною, вісь абсцис –дійсною віссю, вісь ординат – уявною віссю.

Число =a-bi, яке відрізняється від = a+bi тільки знаком при уявній частині, називається числом, спряженим з . Геометрично спряжені числа є точками, розміщеними симетрично відносно дійсної осі.

-bi

§2. Дії над комплексними числами

1. (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.

2. (a+bi) – (c+di) = (a – c) + (b – d)i.

3. (a+bi)(c+di) = (ac – bd) + (ad+ bc)i.

4. = = + i.

5. = .

6. = +.

7. = - .

8. = ·.

9. = .Доведення всіх формул здійснюється безпосередньо.

Із малюнка видно, що додавання комплексних чисел геометрично здійснюється за правилом паралелограма (аналогічно віднімання – за правилом трикутника).

Оскільки комплексні числа розміщені не на одній прямій, то їх не можна впорядкувати з допомогою понять “більше” і “менше”, тому поле комплексних чисел невпорядковане.

в) Тригонометрична форма комплексного числа

Положення точки на комплексній площині може бути задане як декартовими координатами а, b (α=a+bi), так і її полярними координатами: відстанню r від початку координат до точки і кутом j між додатнім напрямом осі абсцис і напрямом із початку координат на цю точку.

Число r називають модулемчисла (позначається ), а кут j - аргументомчисла(позначається arg). Зв’язок між декартовими та полярними координатами має вигляд: a = rcosj, b = rsinj.

Звідси r = .

Запис числа α в полярних координатах є таким:

α = a+bi = rcosj+(rsinj)i, тобто

α = r(cosj+isinj).

Ця форма запису комплексного числа називається тригонометричною.

Приклад.

Число α = 1 + і в тригонометричній формі виглядає так:

α = (cos+isin).

Знайдемо добуток двох комплексних чисел α = r (cosj+isinj) та

β = .

Отже: , тобто

модуль добутку комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників;

, тобто

аргумент добутку комплексних чисел дорівнює сумі аргументів співмножників.

Ці правила поширюються на довільну кількість співмножників.

Аналогічні правила мають місце і для частки . Нехай β ≠ 0.

звідки випливає, що

модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника,

аргумент частки дорівнює різниці аргументів діленого і дільника.

Із того, що 1=1+і∙0=cos0+isin0, і при α=r(cosj+isinj)≠ 0 отримаємо

α^-¹=r^-1[cos(-j)+isin(-j)].

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Кількість інформації, яка отримується при вимірюванні	\|	Піднесення до степеня і добування кореня

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.008 сек.