Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Інтегровні типи д-р 1-го порядку, розвязаних відносно похідної.

Лекція 3

а). Неповні р-ня. ДР, яке не містить шуканої функції.

Має вигляд

, (2.33)

Припустимо, що f(x) являється неперервною на функцією.

Тоді ф-я

(2.34)

являэться загальним розв`язком д-р (1) в області a < x < b, -< y < + .(2.35)

Особливих розвязків ДР (2.33) немає.

Разом з ДР (2.33) розглянемо початкові умови (2.36)

Проінтегруємо ДР (2.34) від до x

Знаходимо с з умови (2.36)

(2.37) - загальний розвязок ДР (2.33) в формі Коші.

Якщо f(x) - неперервна на за виключенням точки , в якій приймає нескінченне значення, то замість ДР (2.34) будемо розглядати р-ня

(2.33¹)

Пряма являється розвязком ДР (2.33¹) і ми цей розвязок повинні приєднати до розвязку ДР (2.33). Цей розвязок може бути частинним або особливим в залежності від того зберігається чи порушується в будь-якій його точці єдність. Якщо - частинний розвязок, то його часто можна отримати з загального при нескінченних заначеннях с, якщо ж він являється особливим, то його отримують з загального при .

Р-ня, яке не містить незалежної змінної має вигляд

(2.38)

Припускаємо, що ф-явизначена і неперевна на інтервалі . Замість (2.38) розглянемо ДР

(2.39)

ДР (2.39) не містить шуканої функції і воно розвязується аналогічно ДР (2.33).

Якщо , y є (c,d), то

(2.40) – загальний рохвязок ДР (2.39) в області

c < y < d, -< x < + .

Аналогічно (2.41) - загальний інтеграл в формі Коші.

Якщо неперервна на (c,d) і приймає нульове значення при , то ми повинні розглядаті ДР (2.38). Розвязокбуде частинним, якщо в кожній його точці зберігається єдиність, і осоюливим, якщо в кожній його точці порушується єдиність. Якщо частинний розвязок, то ми його отримуємо при нескінченних значеннях , якщо особливий, то при .

Якщо в тоцчі перетворюється в нескінченність , то розглянемо ДР (2.39), яке має неперервну праву частину на (c,d). При цьому ДР на має єдиний розвязок .

Пр. 2.5

Розглянемо ДР .

Область визначення : .

Поскільки в т. дотичні паралельні осі OY, то розвязок в єдиний , .

б) Рівняння з відокремлюванними змінними.

Розглянемо р-ня в диференціалах виду

(2.42),

де - неперервні ф-ї своїх аргументів.

Деференціальне р-ня (2.42) називається р-ням з відокремленими змінними. Його можна переписати данним чином . Звідки маємо загальний розвязок в квадратурах. (2.43).

Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так . З умови (2.36) визначають . Отже (2.44) – розвязок задачі Коші (2.36), (2.42). При данних припущеннях особливих розвязків ДР (4.42) не має.

Рівняння вигляду

(2.45) –

називають р-ням з відокремлюваними змінними.

Припустимо, що , тоді розділемо обидві частини рівняння (2.45) на , отримуємо

(2.46).

Аналогічно записуємо

(2.47) –

загальний розвязок ДР (2.45) і

(2.48) –

розвязок задачі Коші (2.36) , (2.45). При діленні на ми можемо загубити розвязки, які визначаються рівняннями ,. Дійсно, нехай , то

отже - розвязок ДР (2.45).

Аналогічно .

Якщо ці розвязки не входять в (2,47) при деяких , то вони представляють собою особливі розвязки ДР (2.45).

З розвязку ми повинні викинути точку , так як в точці ДР (2.45) не визначає нахил поля . По тій же причині з розвязку викидають точку .

Таким чином розвязки і примикають до точки і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.

Пр. 2.6.

Знайти загальний розвязок ДР:

Розвязок:

. .

в). Однорідні і узагальнено-однорідні ДР.

Розглянемо р-ня в диференціалах

(2.5),

в якому ф-ії і являються однорідними функціями одніеї і тієї ж степені однорідності.

Означення 2.4: ф-я називаеться однорідною степеню ,

якщо (2.49).

Якщо (2.49) виконуються при , то ф-я називаеться додатню-однорідною.

Однорідне р-ня завжди можна звести до рівняння вигляду

(2.50),

в якому функція однорідна функція нулбового виміру.

Однорідні рівняння завжди інтегруються в квадратурах заміною (2.51). При цьому р-ня (2.5) приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно

(2.52), де .

При діленні ми могли загубити розвязок , де - корені рівняння (2.53).

Отже півпрямі примикають до початку координат. Ці розвязки можуть міститися в формулі загального розвязку, але можуть бути і особливими. Особливими можуть бути також півосі осі . Других особливих розвязків ДР (2.5) не має.

Рівняння вигляду(2.54) зводиться до однорідного. Якщо , то це однорідне рівняння.

Припустимо, що хоч одне з чисел не дорівнюють 0. Можливі два випадки:

Перший) Проводимо заміну (2.55), де - нові змінні, - параметри. Тоді (2.56).

Параметри вибираємо згідно системи (2.57). Так як то система (2.57) має єдиний розвязок. Таким чином, ми прийшли до однорідного ДР (2.58).

Другий) . В цьому випадку , тобто . Тому (2.59)

Заміною ДР (2.59) приводимо до рівняння з відокремленими змінними (2.60).

Пр 2.7 Знайти загальний розвязок ДР

Це однорідне рівняння, . Зробимо заміну ,

, .

Отже - загальний розвзок нашого рівняння.

ДР (2.5) називається узагальнено-однорідним, якщо існує таке число , при якому ліва частина цього ДР (2.5) стає однорідною функцією від велечин в припущенні, що __ мають віжповідно виміри: перший, -ий, нульвий , -ий. При має просто однорідне рівняння.

В цьому випадку ДР (2.5) заміною (2.61) зводитьчя до р-ня з відоктремлюванними змінними. При р-ня (2.5) являється р-ням з розділеними зміними. Особліви розвязки досліджуються аналогічно.

Пр 2.8 Розвязати ДР:

Знайдемо чило для данного випадку . Отже , ,формула

Звідки загальний розвязок.

г) Лінійні р-ня порядку.

ДР вигляду (2.62) називаються лінійними ДР порядку.

При воно називається однорідним

Формула (2.63). Так як ліва частина ліній на і однорідна відносно і . Р-ня (2.62) при називається неоднорідним. ДР (2.63) інтирується в квадратурах, так як воно являється ДР з відокремлюваними змінними.. Звідки (2.64).

Якщо то (2.65)

Загальні властивості ОДР :

- Якщо та неперервні, то згідно теореми Пікара розвязок задачі Коші для ДР (2.63) існує і являється єдиним;

- ЛДР (2.63) не має особливих розвязків;

- ІК ОДР (2.63) не можуть пееретинати вісь , так як в противному випадку нарушалися б умови єдиності розвязку задачі Коші;

- ДР (2.63) інваріантно відносно перетворення ;

Дійсно: формула , .

- ДР (2.63) іваріантно відносно заміни (2.66) де -новазмінна, та - неперервні ф-ї, на . Тоді . Якщо - частинний розвязок ДР (2.63), то (2.67), де - константа, являється загальним його розвязком. Справедлива теорема.

Теорема (2.3) (про структуру розвязку лінійного неоднорідного ДР): Якщо - частинний розвязок неоднорідного ДР (2.62), а ДР (2.64)- загальний розвязок ОДР (2.63) то сума (2.68) являється загальним розвязком неоднорідного ДР (2.62).

Теорема доводиться безпосередньою подстановкою (2.68) в

р-ня (2.62).

Якщо відомо два частинних розвязки ДР (2.62), то загальний його розвязок записується без квадратур (2.69).

Розглянемо два методи интигрування неоднорідного ДР (2.67).

Метод Лагранжа (варіації довільної сталої).

Розвязок шукаємо у вигдяді (2.70). Підставимо (2.70) в (2.62). . Звідки ,

. Остаточно маємо (2.71).

загальний розв’язок ДР (2.62), який записаний через дві квадратури. Довільна стала входить завжди в загальний розв’язок лінійно.

Метод Ейлера заключається в тому, що ліва частина ДР (2.62) представляється у вигляді точної похідної шляхом домноження на деяку функцію Визначимозвідки тобто (ф-я)називається інтерувальним множником). Тому (2.72) звідки. З останнього співвідношення отримуємо ф-лу (2.71).

Загальний розв’язок при умові можна записати в Формі Коші .

Пр.2.9 Знайти загальний розв’язок ДР

Це лінійне однорідне ДР .

Пр.2.10 Розв’язати ДР .

За формулою (2.71)

д) Рівняння Бернуллі Це рівняння має вигляд (2.74)

Рівняння (2.74) завжди інтегрується в квадратурах шляхом підстановки (2.75). Так як , то домножимо (2.74) на , маємо (2.76) яке вже являється лінійним.

При рівняння Бернуллі має особливий розв’язок. При розв’язок міститься в загальному розв’язку при. При не являється розв’язком ДР (2.74)

Пр.2.11 Розв’язати ДР , , ,. Отже - загальний розвязок нашого р-ня.

Відомо, що деференц. – ліннійне р-ня.

Р-ня зводиться до лінійного заміною.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Піднесення до степеня і добування кореня	\|	Трафаретизація

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.011 сек.