Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Логарифмічне диференціювання.

Похідна складної функції.

Похідні основних елементарних функцій.

Основні правила диференціювання.

Однобічні похідні функції в точці.

КУРС

ВИЩОЇ

МАТЕМАТИКИ

ЧАСТИНА 2

Диференціальне числення функції однієї змінної.

Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.

Визначення. Похідної функції f(x) у точці х = х₀ називається границя відносини приросту функції в цій точці до приросту аргументу, якщо він існує.

f(x)

f(x₀ +Dx) P

f(x₀) M

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

Нехай f(x) визначена на деякому проміжку (a, b). Тоді – тангенс кута нахилу січної МР до графіка функції.

де a – кут нахилу дотичній до графіка функції f(x) у точці (x₀, f(x₀)).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними, проведеними до цих кривих у який-небудь точці.

Рівняння дотичної до кривої:

Рівняння нормалі до кривої: .

Фактично похідна функції показує начебто швидкість зміни функції, як змінюється функція при зміні змінної.

Фізичний зміст похідної функції f(t), де t – час, а f(t) – закон руху (зміни координат) – миттєва швидкість руху.

Відповідно, друга похідна функції – швидкість зміни швидкості, тобто прискорення.

Визначення. Правою (лівою) похідною функції f(x) у точці х = х₀ називається праве (ліве) значення границі відношення за умови, що це відношення існує.

Якщо функція f(x)має похідну в деякій точці х = х₀, то вона має в цій точці однобічні похідні. Однак, зворотне твердження невірне. По-перше функція може мати розрив у точці х₀, а по-друге, навіть якщо функція неперервна в точці х₀, вона може бути в ній не диференційована.

Наприклад: f(x) = ïxï – має в точці х = 0 і ліву й праву похідну, неперервна в цій точці, однак, не має в ній похідної.

Теорема. (Необхідна умова існування похідної) Якщо функція f(x) має похідну в точці х₀, то вона неперервна в цій точці.

Зрозуміло, що ця умова не є достатнім.

Позначимо f(x) = u, g(x) = v – функції, диференційовані в точці х.

1)(u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , якщо v ¹ 0

Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про границі.

1) С¢ = 0; 9)

2) (x^m)¢ = mx^m^–1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

Теорема.Нехай y = f(x); u = g(x), причому область значень функції u входить в область визначення функції f.

Тоді

Доведення.

(з врахуванням того, що якщо Dx®0, то Du®0, тому що u = g(x) – неперервна функція)

Тоді

Теорему доведено.

Розглянемо функцію .

Тоді ( , тому що .

З огляду на отриманий результат, можна записати .

Відношення називається логарифмічною похідною функції f(x).

Спосіб логарифмічного диференціюванняполягає в тому, що спочатку знаходять логарифмічну похідну функції, а потім похідну самої функції за формулою

Спосіб логарифмічного диференціювання зручно застосовувати для знаходження похідних складних, особливо показникових функцій, для яких безпосереднє обчислення похідної з використанням правил диференціювання видається трудомістким.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|	Диференціал функції.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.