Постановка задачі багатопараметричної оптимізації

Лекція №7. Оптимізація задач з функціями декількох змінних

Вивчення методів рішення оптимізаційних задач з декількома змінними основано на матеріалах одновимірних методів. Проте такі задачі, які мають два і більше параметрів, значно складніші за однопараметричні. Ця складність зростає, коли задачі безумовної оптимізації стають задачами умовної оптимізації, тобто появляються обмеження на параметри оптимізації. Трудність в рішенні таких задач зростає, коли серед обмежень на параметри оптимізації є нелінійні обмеження.

Особливо ускладнює рішення багатопараметричних нелінійних задач наявність локальних екстремумів, серед яких необхідно знайти глобальний, - це, так звані, багатоекстремальні задачі. Тому проблема вибору числового методу рішення цього класу задач досить складна і вимагає розуміння як математичного апарату методів рішення оптимізаційних задач, так і знання технологічних аспектів вирішуємої задачі.

При вирішенні задачі нелінійної багатопараметричної оптимізаціїї постановкою задачі оптимізації передбачається необхідність знаходження мінімума цільової функції:

, ( 7.1 )

де X -вектор параметрів оптимізації X = (x₁, x₂, ... , x_N) з розмірністю N, підмножини D; D - область допустимих значень параметрів; f(X) - нелінійна скалярна функція визначена підмножиноюX, яка має кінцеве значення.

При рішенні задач умовної оптимізації вводяться обмеження на параметри оптимізації типу нерівностей і рівностей:

g_i(X) £ 0, i = 1, 2, ..., K; ( 7.2 )

h_i(X) = 0, i = K+1, ..., M,

де, як правило, обмеження нерівності g_i(X) при i = 1, 2, ..., K показують технічні характеристики процесу або технологічної структури, а обмеження рівності h_i(X) при i = K+1, ... , M відображають технологічні і фізичні закони, які використовуються в моделі.

Для рішення задач з обмеженнями розроблені лише алгоритми локальної оптимізації, знаходження локальних мінімумів. Алгоритми глобальної оптимізації для багатоекстремальних задач розроблені лише для простих обмежень з прямокутною допустимою областю: D = {X: a_i £ x_i £ b_i, i = 1,..N}. При використанні методів умовної локальної оптимізації з обмеженнями вибір напрямку спуску визначається не тільки зменшенням значення цільової функції, але і обмеженнями. Крок руху вибирається таким чином, щоб зменшуючи значення цільової функції, не вийти з області допустимих значень.

На практиці визначити, багатоекстремальна задача чи ні дуже важко. Факт наявності багатьох екстремумів визначається в процесі рішення задачі, коли, шукаючи оптимум з декількох початкових точок, знаходять декілька екстремумів.

Нелінійна цільова функція може бути випуклою і невипуклою, диференційованою і такою, для якої похідна не існує. Краще мати справу з випуклою функцією, бо тоді задача має один екстремум, і з диференційованою, бо вирішується більш простими методами. Якщо цільова функція диференційована, то з курсу математичного аналізу відомо, що оптимум може бути в точках розриву функції f(X), або її градієнта Ñf(X).

При рішенні задач багатопараметричної оптимізації використовують деякі визначення.

Нормою вектора параметрів оптимізації X називається довжина вектора, яка визначається відстанню від початку координат багатовимірного простору до точки X, і рахується за однією з формул:

або або ( 7.3 )

Необхідними умовами наявності локального мінімума в точці X^*є виконання рівності Ñf(X^*) = 0, і умови додатньої напіввизначеності матриці Ñ²f(X^*). Тут Ñf(X) вектор, градієнт, перших частинних похідних функції f(X):

, ( 7.4 )

а Ñ²f(X) матриця других частинних похідних, гессіан, функції f(X):

( 7.5 )

Значення матриці других частинних похідних визначається по рівняннях курсу лінійної алгебри.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Дотримання принципу поваги до адвокатської професії в публіцистичній діяльності адвоката	\|	Приклад 7.1. Перевірка точки на екстремум

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.