• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

П Л А Н

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття

2. Самостійна робота №5 “Графіки елементарних функцій” (2 год.)

[1] c. 138-142

3. Самостійна робота №6 “Границя послідовності” (2 год.)

[1] с. 149-153

4. Самостійна робота №7 “Порівняння нескінченно малих і нескінченно великих величин” (2 год.)

[2] с. 147-153

Питання для самоконтролю

1. Означення функції, способи її задання.

2. Границя змінної величини.

3. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх зв’язок.

4. Границя функції. Односторонні границі.

Л Е К Ц І Я 13

Тема: Особливі границі

Мета: Ознайомити з першою та другою особливими границями, натуральними логарифмами, порівнянням нескінченно малих

Література: [1, с. 169-183]; [6, с. 212-216].

1. Перша особлива границя

2. Друга особлива границя

3. Натуральні логарифми.

4. Порівняння нескінченно малих.

1. Нехай дано круг радіуса R

У Радіанна міра АОВ,

(АОВ утворений радіусом

круга і віссю О_х).

А АС –дотична до кола в т.А

В С х

Порівнюючи площі АОВ, сектора круга АОВ і АОС, дістанемо:

сект АОВ < S АОС;

=, S сект АОВ =,

=;

так як

Перейдемо до границі при ;

1;

1<, звідки

=1	- перша особлива границя

Для першої особливої границі невизначеність

Приклади: 1) 2)

Для обчислення першої особливої границі застосовують формули тригонометрії (для перетворення виразів):

;

1

Приклад:

=

Наслідки першої особливої границі:

1)

2)

3)

3) Розглянемо множину логарифмичних кривих при умові, коли основа логарифма більша за 1: у=log _a x, a>1, x>0

у y=log _a x (а>1) Нехай до кожної кривої

проведена дотична в точці х=1

Серед цих кривих знайдеться

така, дотична до якої в т.х=1

нахилена до осі О_х під кутом 45⁰

0 1 x

Основою логарифма такої кривої є число е, значення його знаходиться в межах 2 < e < 3.

е=2,7182818284... е - ірраціональне.

Число е називається числом Непера (на честь шотландського математика Дж. Непера – винахідника логарифмів) або числом Ейлера. Число е трансцендентне (тобто не є коренем алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами).

Логарифми за основою е називаються натуральними і позначаються ln x. Натуральні логарифми мають такі ж властивості, як і логарифми за любою основою:

1) ln 1 =0 7) lg =

2) ln e =1

3) ln ln ln

4) lnln -ln

5) ln =ln

6) ln =

Число називається модулем переходу від десяткового логарифма до натурального.

у y=ln x Побудуємо графік функції у=ln x

В АВ – пряма, яка перетинає

графік функції у=ln x в двох

А 45⁰ ln (1+) точках (січна).

0 С х

1

Нехай , тоді т. В, переміщаючись по кривій, прямує до т. А (). Січна АВ займе положення дотичної, проведеної в т.А в деякий момент. При цьому кут нахилу до осі О_х буде дорівнювати 45⁰ ().

З АВС знайдемо : .

Знайдемо

ln =1

Зауваження: () за властивістю границі, якщо функція неперервна, то можна поміняти місцями символи lim і f.

(границі) (функції)

Значить,

- друга особлива границя

Для другої особливої границі невизначеність 1

Другий запис другої особливої границі:

;

при

Приклад: 1)

2)

0

= ==^-6 =

4. Дві нескінченно малі порівнюються між собою за допомогою дослідження їхнього відношення.

Нехай дано дві нескінченно малі:

1) і називаються нескінченно малими одного порядку, якщо

, А є R.

2) називається нескінченно малою вищого порядку, ніж , якщо .

3) називається нескінченно малою нижчого порядку, ніж , якщо .

4) Якщо то і - еквівалентні нескінченно малі .

Теорема про заміну відношення нескінченно малих відношенням еквівалентних величин: при знаходженні границі відношення нескінченно малих можна замінити їх еквівалентними величинами

де

Еквівалентність деяких нескінченно малих (при ):

sin x ~ x, tg x ~ x, arcsin x ~ x,

arctg x ~ x, sin^kx ~x^k

Приклад:

Переглядів: 436