МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лекція 1 Вступ. Поняття про теорію ймовірностей. Зміст і завдання предмету. Основні поняття теорії ймовірностей. Класичне, статистичне та геометричне означення ймовірності
Лекція 1 Вступ. Поняття про теорію ймовірностей. Зміст і завдання предмету. Основні поняття теорії ймовірностей. Класичне, статистичне та геометричне означення ймовірності
Події в навколишньому світі можна поділити на вірогідні, неможливі та випадкові. Перші при реалізації певного комплексу умов (при випробуванні) відбуваються завжди, другі –ніколи, треті – можуть як відбуватися, так і не відбуватися. Віднесення певної події до тієї або іншої групи істотно залежить від умов випробування. Наприклад, розглянемо подію, зв’язану з попаданням у мішень. Для цього треба, щоб хтось стріляв, щоб була мішень, щоб був засіб реалізації попадання , щоб цей засіб був доступний (справжній), щоб була забезпечена певна відстань до мішені і т.д. Якщо якась з умов не виконана, то подія буде неможливою; якщо будуть виконані всі необхідні і достатні умови, то подія буде достовірною (скажімо пістолет упирається в мішень). Основним тут є поняття випробування. Під випробуванням розуміємо забезпечення всіх необхідних умов для появи даної події. Події позначають літерами латинської абетки А, В, С, .... Випадкові події займають проміжну позицію між “ завжди” і “ ніколи”. І можуть наставати чи не наставати в даному випробуванні, в якому виконані всі необхідні умови появи їх. Стосовно достатніх умов зазначимо, що вони не завжди підконтрольні, а про деякі з них важко здогадатися. Так, ми не контролюємо пориву вітру чи спалаху блискавки, які могли спричинити наш промах по мішені. У такій ситуації не можна обмежитися одиничними випробуваннями, а треба мати якомога більшу їх кількість і аналізувати всю множину отриманих результатів. Ця множина є більш стійкою, оскільки одна частина попадань відхиляється в один бік, а друга в другий, і ці випадкові відхилення взаємно компенсуються, відкриваючи шлях до закономірності. Ось чому теорія ймовірності як наука про числову міру випадковості подій передбачає вивчення не одиничних, а масових однорідних випадкових подій, які підпорядковуються стохастичним ( від грець. “стохастіс” – здогадка ) закономірностям, встановлення яких і є її основною задачею. Виникнення теорії ймовірностей , обумовлене спробою побудувати теорію азартних ігор, відноситься до ХVІ-ХVІІ ст.. і зв’язане з іменами таких учених, як Дж. Кардано, Б. Паскаль, Х. Гюйгенс, П. Ферма. Найістотнішим досягненням її першого періоду є відкриття Д. Бернуллі закону великих чисел. Другий період розвитку теорії ймовірностей зв’язаний з іменами Лапласа, Пуассона, К. Гаусса, Буняковського ( ХVІІ-ХІХ ст.). Як наука теорія ймовірностей сформувалась на межі ХІХ – ХХ ст.. завдяки зусиллям П.Л.Чебишева, О.М.Ляпунова, О.О.Маркова, Р. Мізеса. Проте в 30-х роках нашого століття вона стала повноцінним розділом математики ( до цього вважалась прикладною дисципліною) завдяки чіткому поняттю ймовірності, даному .М.Колмогоровим. Подамо кілька означень. Випадкові події поділяються на сумісні й несумісні . У першому випадку поява однієї події не виключає, а в другому виключає появу другої події. Наприклад, осічка і непопадання в ціль – сумісні, осічка і попадання в ціль – несумісні події. Кілька подій утворюють повну групу, якщо поява хоч однієї з них – вірогідна подія. Наприклад, поява аверса і реверса при киданні монети, поява числа очок від одиниці до шести при киданні гральної кості, попадання і промах. Кілька подій називають рівноможливими, якщо при випробуванні вони з’являються однаково часто. Так, аверс і реверс- рівноможливі, але попадання і промах, як правило, - ні. Деякі події наступають досить часто, а деякі – навпаки, дуже рідко. Введемо числову характеристику показника настання події. ОзначенняЙмовірністю Рданої події А називається відношення числа результатів випробувань m, які сприяють появі даної події, до загального числа n рівноможливих і єдино можливих результатів випробувань, які утворюють повну групу, тобто Р (А) = m / n (1.1) Наведене означення називається класичним. З означення випливають властивості ймовірності: для вірогідних подій Р = 1 ( m = n ), для неможливих Р = 0 ( m = 0), для випадкових 0 < P < 1 (0 < m < n). Приклад У групі з 25 студентів п’ять дівчат. Знайти ймовірність того, що з цієї групи першою до аудиторії зайде дівчина. Розв’язування. Маємо Р (А) = 5 / 25 = 0,2 Приклад Знайти ймовірність того , що при киданні гральної кості випаде грань з парною кількістю очок . Розв’язування. Маємо n = 6, m = 3. Отже, Р (А) = 0,5.
Класичне означення ймовірності, з одного боку, просте, наочне, конструктивне, а з другого боку, воно має ряд суттєвих недоліків, а саме: не завжди можна подати результат випробувань як сукупність рівно можливих результатів; m і n скінченні, але це не завжди так; рівноможливість і рівноймовірність –синоніми. Отже , формула (1.1) не є коректним означенням. Геометричне означення ймовірності з’явилося завдяки спробі відмовитися від скінченності величин m і n. Воно полягає в тому, що
де mes g і mes G - міри ( довжини, площі, об’єми) простору всіх (G) результатів і сприятливих (g) результатів.
Приклад Два студенти домовилися зустрітися в певному місці між 15-ю та 16-ю год. Перший, хто прийде, чекає на другого не більше 20 хв. Яка ймовірність їхньої зустрічі? Розв’язування. Нехай х – час приходу першого, а у – другого студента. Тоді mes G = 1 - площа квадрата зі стороною, яка дорівнює одиниці (рис. 1). Умова зустрічі має вигляд ½у - х½£ , тобто звідки маємо mes g = 5/9. Отже, Р (А) = 5 / 9.
у 16
q
15 16 x Рисунок 1 Наведемо статистичне означення ймовірності: основним поняттям тут є відносна частота появи подій в результаті проведених випробувань де n – число проведених випробувань, а m – число випробувань, в яких відбувалася подія А. Ймовірність – це теоретична величина, обчислена до чи без проведення випробувань, відносна частота – величина емпірична, обчислена за результатами випробувань. Визначення величини W (А) для різних подій показало, що в одних випадках вона для різних серій випробувань змінюється мало, а в других – істотно. Якщо W (A) ≈ C, то подію А називають статистично стійкою, в решті випадків – нестійкою. У подальшому останні ситуації не розглядатимемо (це, як правило, ситуації, обумовлені “людським фактором”). Переважна більшість помилок, зв’язаних із застосуванням теорії ймовірностей, пояснюється її спробами аналізувати невизначені події, які дістаємо у випробуваннях з великим числом неконтрольованих умов (про яку ймовірність виграшу команди можна вести мову, якщо тренери заздалегідь домовилися про нічию). Через це в означенні випадкової події обов’язково слід передбачити її статистичну стійкість. ОзначенняСтатистичною ймовірністю події А називається число, навколо якого групуються відносні частоти цієї події або сама частота. Р.Мізес встановив, що для випадкових подій (для невизначених подій така границя не існує). У 1900 р. відбувся Другий всесвітній математичний конгрес, на якому Д.Гільберт висунув 23 найважливіші проблеми. Шоста проблема Гільберта – побудова логічних несуперечливих основ теорії ймовірностей. Цю проблему було розв’язано через 33 роки О.Колмогоровим, який запропонував таку систему аксіом, яка дає означення ймовірностей: 1) кожній випадковій події А відповідає невід’ємне число Р (А), яке називається ймовірністю цієї події, 2) для вірогідної події U Р (U)=1, 3) ймовірність появи хоча б однієї з попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.
Читайте також:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|