Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими (1.3).

Складемо основну ( A ) і розширену ( A ) матриці цієї системи:

a₁₁

^a12

...

^a1n

a₁₁

^a12

...

^a1n

b₁

a₂₁

^a22

^a2n

...

;

...

A =

...

A =

...

... ...

...

^am1

^am 2

...

^amn

m 2

ТЕОРЕМА Кронекера-Капеллі. Система m лінійних рів-нянь з n невідомими має розв’язок, тобто сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці (r(A)) дорівнює рангу розшире-

ної матриці ( r( A )).

Відмітимо, що r( A ) і	~
r( A ) не можуть перевищувати кіль-
			~
кість невідомих, тобто r( A ) ≤ n , r( A ) ≤ n .
Розглянемо три випадки.
1.	Якщо	~	то система лінійних рівнянь не суміс-
r( A ) ≠ r( A ) ,
на.		~
2.	Якщо
r( A ) = r( A ) = n ,то система лінійних рівнянь суміс-

на і має розв’язок, який знаходиться за одним із методів, розгляну-тих в попередніх параграфах.

~	і r < n , то система лінійних рівнянь
3. Якщо r( A ) = r( A ) = r

сумісна і має безліч розв’язків.

Базисним міноромматриці називається відмінний від нулямінор, порядок якого рівний рангу матриці. Допустимо, що

= ^~ = Для знаходження розв язків системи візьмемо r( A ) r( A ) r r

’

.

рівнянь, в яких коефіцієнти при невідомих утворюють базисний мі-нор. Інші рівняння відкидаємо. Невідомі, коефіцієнти при яких утворюють базисний мінор, називають основними (або базисними) і залишають зліва. Інші ( n − r ) невідомі називають вільними і пе-

реносять в праві частини рівнянь. Надаючи довільних числових зна-чень вільним невідомим, знаходимо відповідні значення основних невідомих.

Приклад 1.Дослідити на сумісність систему рівнянь

x₁ − 2 x₂ + 3 x₃ − x₄ + 2 x₅ = 2,

− x₂ + 5 x₃ − 3 x₄ − x₅ = 6 ,

^{3 x}1

+ x₂ + 2 x₃ − 2 x₄ − 3 x₅ = 8.

^{2 x}1

Розв’язування. Знайдемо ранги основної і розширеної матриць

системи. В розширеній матриці

− 2 3 − 1

~ ²

A = − 1 5 − 3 − 1

1 2 − 2 − 3

до вертикальної лінії розміщені елементи основної матриці. Тому всі елементарні перетворення, які будемо виконувати над матрицею

~

A ,мають місце і для матриці A :

1 − 2 3 − 1 2

2 ×(-3)×(-2) 1 − 2 3 − 1 2

⇔

− 4 0 − 7

A =

3 − 1 5

− 3

− 1

0 5

⇔

2 1 2

− 2

− 3

0 5

− 4 0 − 7

1 0 0 0 0

⇔

0 5 − 4 0 − 7

×(-1)

⇔

0 5 − 4 0 − 7

_⇔

0 5 − 4 0 − 7

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0

⇔ 0 5 0 0 0

⇔ 0 5

0 0 0 0 0

0 0

Звідси видно, що A ⇔ 0

⁰

, A ⇔

⁰

Значить, ранг розширеної матриці A рівний 3, а ранг основної

матриці A - 2. За теоремою Кронекера-Капеллі система лінійних рівнянь несумісна.

Приклад 2.Дослідити на сумісність систему лінійних рівняньі розв’язати її, якщо вона сумісна:

x₁ + 2 x₂ + 3 x₃ = 14 ,

+ 2 x₂ + x₃ = 10 ,

^{3 x}1

+ x₂ + x₃ = 6 ,

^x₁

2 x + 3 x − x = 5 ,

x₁ + x₂ = 3.

Розв’язування. Складемо розширену матрицю системи і вико-наємо елементарні перетворення.

×(-1) (-2) (-1) (-3) 1 2

− 4 − 8 − 32

⁰

⇔ 0 − 1 − 2 − 8 ⇔

2 3 − 1 ⁰ − 1 − 7 − 23

⁰ − 1 − 3 − 11

1 0 1 0 0

₀ − 1 − 2 − 8 ×(-4) (-1) (-1)

⁰ − 1 0 ⇔ ⁰ − 1 0

⇔

− 4 − 8 − 32 .

₀ − 1 − 7 − 23 0 0 0 0 1

0 0 − 1 − 3 ⁺ 0 0 0

− 1 − 3

⁰ − 11

Значить r(A)=r(Ã)=3, оскільки найвищий порядок мінора як матриці А так і матриці Ã, дорівнює 3. За теоремою Кронекера-Капеллі вихідна система лінійних рівнянь має розв’язок, причому єдиний, так як кількість невідомих теж дорівнює 3.

Це означає, що два рівняння системи можна відкинути. Запи-шемо ті три рівняння, визначник із коефіцієнтів, які стоять біля невідомих, відмінний від нуля, наприклад

= = =−1.

0 0 1

= ( −1 )

3 x₁ + 2 x₂ + x₃ = 10 ,

Тобто розглянемо систему рівнянь: x₁ + x₂ + x₃ = 6 ,

x₁ + x₂ = 3.

Знайдемо розв’язок цієї системи за одним із методів, напри-

клад, за методом Крамера. Для цього обчислимо _j( j = 1,2,3 ) , які

одержуються з визначника системи , шляхом заміни стовпців із коефіцієнтів, які стоять біля невідомих x₁, x₂, x₃, стовпцем із віль-

них членів:

1 ⁼ = =−( 4 − 3 ) =−1,

6 1 6 1 1

= ( −1 )

₂= = =−( 6 − 4 ) =−2,

1 6

= ( −1 )

3 ⁼ = =−3( 3 − 2 ) =−3.

1 1 6 0 0 3

= 3( −1 )

Розв’язок вихідної системи такий:

x₁ = ¹= ⁻ ¹ = 1, x₂ = ²= ⁻ ² = 2, x₃ = ³= ⁻ ³ = 3.

− 1 − 1 − 1

Приклад 3.Дослідити на сумісність і розв’язати систему рів-

нянь:

x₁ + 5 x₂ + 4 x₃ + 3 x₄ = 1,

− x₂ + 2 x₃ − x₄ = 0 ,

^{2 x}1

+ 3 x₂ + 8 x₃ + x₄ = 1.

^{5 x}1

Розв’язування. З допомогою елементарних перетворень зведе-мо до діагонального вигляду матрицю

~ 1 5 4 ×(- 2) (-5)

×(- 2)

A = − 1 2 − 1 ⇔ ⁰ − 11 − 6 − 7 − 2

− 22 − 12 − 14 − 4

⇔ − 11 − 6 − 7 ⇔ ⇔ .

⁰ − 2 − 11 0 − 11

⁰ ⁰ ⁰ ⁰

Як бачимо r(A)=r(Ã)=2. Це означає, що система лінійних рів-нянь сумісна і має безліч розв’язків (оскільки ранг менший, ніж кі-лькість невідомих).За базисний мінор візьмемо мінор 2-го порядку

( r = 2 ), наприклад, =−1 − 10 =−11, який не дорівнює нулю.

− 1

В даному випадку за основні невідомі приймемо х₁,х₂. Невідомі х₃ та х₄ будуть вільними.

Задана система еквівалентна такій:

x₁ =

+ ²

11

x₂ =

− ⁷

11

x₁ + 5 x₂ + 4 x₃ + 3 x₄ = 1, x₁ + 5 x₂ = 1 − 4 x₃ − 3 x₄ ,

або

2 x₁ − x₂ + 2 x₃ − x₄ = 0 , 2 x₁ − x₂ =−2 x₃ + x₄ .

За формулами Крамера знаходимо

1 − 4 x₃ − 3 x₄

− 2 x₃ + x₄ − 1 = − 1 + 4 x₃ + 3 x₄ + 10 x₃ − 5 x₄ = − x +

− 11

− 1

x₄ + ;

1 − 4 x₃ − 3 x₄

− 2 x₃ + x₄ = − 2 x₃ + x₄ − 2 + 8 x₃ + 6 x₄ = − x 3 ⁻

− 11

− 1

x₄ + ² .

11

Отже, загальний розв’язок вихідної системи такий:

x₁ = − ^x3 + x₄ + ; x = − x − ^x4 + .

Надаючи вільним невідомим х₃,х₄ довільних значень, одер-жимо відповідні значення базисних невідомих х₁,х₂.

Наприклад, один із часткових розв’язків розглянутої системи

рівнянь буде x₁ = , x = , x₃ =−1, x₄ = 1.

Зауваження. При знаходженні рангівr(A)іr(Ã)зручно корис-туватись методом окантування мінора. При цьому одночасно знахо-димо і базисний мінор.

Системи m лінійних рівнянь з n невідомими можна розв’язувати методом Жордана-Гаусса.

Приклад 4.Дослідити на сумісність і розв’язати методомЖордана-Гаусса систему лінійних рівнянь:
<
Читайте також:
I. Органи і системи, що забезпечують функцію виділення
I. Особливості аферентних і еферентних шляхів вегетативного і соматичного відділів нервової системи
II. Анатомічний склад лімфатичної системи
II. Критерій найбільших лінійних деформацій
IV. Розподіл нервової системи
IV. Система зв’язків всередині центральної нервової системи
IV. Філогенез кровоносної системи
POS-системи
T. Сутність, етіологія та патогенез порушень опорно-рухової системи
VI. Філогенез нервової системи
А) Заробітна плата її форми та системи.
А) Заробітна плата, її форми та системи.

3 x ₁ + x₂ + 2 x₃ − x₄ + x₅ = 2 ,

− x₁ − 2 x₂ + x₃ + 3 x₄ − x₅ =−1,

2 x₁ + 3 x₂ + 5 x₃ + x₄ + 2 x₅ = 3.
Переглядів: 917

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Метод Жордана-Гаусса | Деякі економічні задачі

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.014 сек.