Деякі економічні задачі

◙ Задача міжгалузевого балансу

В деяких задачах макроекономіки ставиться питання про ефе-ктивне ведення багатогалузевого господарства. Тут кожна галузь є і виробником , і споживачем деякої продукції (як своєї, так і продук-ції, виробленої іншими галузями).

Однак, з економічної точки зору, міжгалузевий баланс є більш ефективним у вартісному виразі. При цьому об’єднання окремих галузей у підгрупи полегшує складання балансів продукції.

Введемо такі позначення:

x_i -загальна вартість продукції,виробленої в і-ій галузі(план вало-вого випуску продукції) (i=1,2,…,n);

x_ij - вартість продукції i − ої галузі, необхідної для випуску

продукції j − го підрозділу ( j = 1,2,...,n ) ;

y_i -вартість продукції i −ої галузі,призначеної для реалізації(кін-

цевий продукт).			i −ої галузі,
	Прямі витрати одиниць	які використовуються
для випуску одиниці виробу продукції	j −ої галузі,а також кінце-
вий продукт задані таблицею:
	Вартість		Прямі витрати		Кінцевий
	продукції			…	n	продукт
	^x1	^x11	^x12	…	X1n	^y1
	^x2	^x21	^x22	…	X2n	^y2
	…	…	…	…	…	…
	^xn	xn1	xn2	…	xnn	^yn

Зв’язок між цими величинами запишемо у вигляді системи рі-внянь:

		x₁ = x₁₁ + x₁₂ + ...+ x_1n + y₁ ,
				+ x₂₂ + ...+ x_2n + y₂ ,
		^x2 = ^x21
			.............................................

				+ x_n2 + ...+ x_nn + y_n .
		^xn = ^xn1
Рівняння цієї системи називаються балансовими.
Позначимо a_ij	- вартість продукції i − ої галузі ,		необхідної
для випуску одиниці продукції	j −ої галузі:
				a_ij =	^xij	.

					x _j
Матриця, складена із величин a_ij
a₁₁	^a12	...	a_1n
	називається
	^a22	...
^a21	^a2n		матрицею прямих
^A ⁼ ... ...	...	...
					витрат,
^an1	^an2	...	^ann

а її елементи – коефіцієнтами прямих витрат.
Враховуючи, що x_ij = a_ijx_j , вихідна система запишеться так:
	x₁ = a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... + a_2n x_n + y₁ ,

	^x2 = ^a21 ^x1 + ^a22 ^x2 + ^... + ^a2n ^xn + ^y2 ^,
		........................................................


або	^xn = ^an1 ^x1 + ^an2 ^x2 + ^... + ^ann ^xn + ^yn ^,
x₁ − ( a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ...+ a_2n x_n ) = y₁ ,

	^x2 − ^{( a}21 ^x1 + ^a22 ^x2 + ^...+ ^a2n ^xn ⁾ = ^y2 ^,
		........................................................


	^xn − ^{( a}n1 ^x1 + ^an2 ^x2 + ^...+ ^ann ^xn ⁾ = ^yn ^.
Позначимо через
x₁						y₁

_X₌ ^x²	і назвемо вектор-планом X , а Y = ^y²		і назвемо
...						...

^xn						^yn

вектором кінцевих продуктів Y.

Попередня система запишеться у вигляді матричного рівняння

X − AX = Y ,або EX − AX = Y ,звідси ( E − A )X = Y ,

де E - одинична матриця.

Позначимо E − A = B , тоді система лінійних алгебраїчних рівнянь запишеться так BX = Y .

Помножимо з лівого боку обидві частини рівняння на B⁻¹ :

B⁻¹ BX = B⁻¹Y .Звідси X = B⁻¹Y .

Тобто вектор-план X можна знайти, помноживши B⁻¹ на вектор кінцевих продуктів.

Матриця B⁻¹ називається матрицею повних витрат. Елемен-ти цієї матриці включають прямі і непрямі витрати.

Задача 1.Прямі витрати трьох галузей виробництва,а такожобсяги кінцевих продуктів ( у грошових одиницях) задані у таблиці:

Продукція цехів		Прямі витрати	Кінцевий продукт

	0,2		0,3	0,1
	0,4		0,2	0,5
	0,1		0,3	0,6

Потрібно знайти:

1) матрицю повних витрат;

2) план кожної галузі;

3) виробничу програму галузей;

4) коефіцієнти непрямих витрат.

Розв’язування. Із таблиці видно,що матриця прямих витрат

		,2	0 ,3	0 ,1
буде:		,4	0 ,2		,5
A = 0	.
	0 ,1	0 ,3		,6

Позначимо через Х - вектор - план галузей виробництва, Y - ве ктор кінцевих продуктів:

x₁
X = x₂	, Y =	80 .
x₃

Зв’язок між величинами, записаних в таблиці представимо у вигляді системи лінійних рівнянь:

x₁ − x₂ − x₃ −

( 0 ,2 x₁ + 0 ,3 x₂ + 0 ,1x₃ ) = 50 , ( 0 ,4 x₁ + 0 ,2 x₂ + 0 ,5 x₃ ) = 80 , ( 0 ,1x₁ + 0 ,3 x₂ + 0 ,6 x₃ ) = 100.

В матричній формі маємо : Х−AХ=Y , або (E−A)Х=Y. Позначимо E−A=B. Система лінійних алгебраїчних рівнянь

запишеться в матричній формі:BX=Y. Звідси X= B^-1Y. В нашій задачі

1 0 00 ,2 0 ,3 0 ,10 ,8 − 0 ,3 − 0 ,1

E − A = 0 1 0 − 0 ,4 0 ,2 0 ,5 =− 0 ,4 0 ,8 − 0 ,5 = B.

0 ,1 0 ,3 0 ,6 − 0 ,1 − 0 ,3 0 ,4

Для знаходження оберненої В^-1до матриці В, обчислимо ви-значник:

0 ,8 − 0 ,3 − 0 ,1

B = − 0 ,4 0 ,8 − 0 ,5 = 0 ,256 − 0 ,015 − 0 ,012 − 0 ,008 −

− 0 ,1 0 ,3 0 ,4

− 0 ,048 − 0 ,12 = 0 ,053.

Тому для матриці В існує обернена В^-1. Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці В :

b = ( −1 )² 0 ,8 − 0 ,5 = 0 ,32 − 0 ,15 = 0 ,17 ;

− 0 ,3 0 ,4

b = ( −1 )³ − 0 ,4 − 0 ,5 =−( −0 ,16 − 0 ,05 ) = 0 ,11;

− 0 ,1 0 ,4

− 0 ,4 0 ,8 = 0 ,12 + 0 ,08 = 0 ,2;

b = ( −1 )

− 0 ,1 − 0 ,3

b = ( −1 )³ − 0 ,3 − 0 ,1 =−( −0 ,12 − 0 ,03 ) = 0 ,15;

− 0 ,3 0 ,4

0 ,8 − 0 ,1 = 0 ,32 − 0 ,01 = 0 ,31;

b = ( −1 )

− 0 ,1 0 ,4

0 ,8 − 0 ,3 =−( −0 ,24 − 0 ,03 ) = 0 ,27 ;

b = ( −1 )

− 0 ,1 0 ,3

b = ( −1 )⁴ − 0 ,3 − 0 ,1 = 0 ,15 + 0 ,08 = 0 ,23;

0 ,8 − 0 ,5

0 ,8 − 0 ,1 =−( −0 ,4 − 0 ,04 ) = 0 ,44;

b = ( −1 )

− 0 ,4 − 0 ,5

0 ,8 − 0 ,3 = 0 ,64 − 0 ,12 = 0 ,52.

b = ( −1 )

− 0 ,4 0 ,8

Матриця з цих алгебраїчних доповнень буде:

0 ,17 0 ,11 0 ,2

0 ,15 0 ,31 0 ,27 ,

0 ,23 0 ,44 0 ,52

0 ,17 0 ,15 0 ,23

а приєднана B ^П = 0 ,11 0 ,31 0 ,44 .

0 ,27

0 ,2 0 ,52

Обернена матриця має вигляд :

0 ,17 0 ,15 0 ,23 3 ,21 2 ,83 4 ,34

− 1

B = 0 ,11 0 ,31 0 ,44 ^≈ 2 ,08 5 ,85 8 ,3 .

0 ,053 0 ,2 0 ,27 0 ,52 3 ,77 5 ,09 9 ,81

Елементи цієї матриці B^-1 - це коефіцієнти повних витрат, а

сама матриця є матрицею коефіцієнтів повних витрат.

2) Для знаходження плану кожної галузі, помножимо B⁻¹ на

вектор кінцевих продуктів Y :

3,21 2,83 4 ,34 50 x₁

X = B⁻ ¹Y = 2,08 5 ,85 8,3 80 ≈ = x₂ .

3,77 5 ,09 9,81 x₃

Значить: x₁ = 821; x₂ = 1402; x₃ = 1577.

Отже, якщо відомо обсяг кінцевої продукції (у грошових оди-

ницях) y₁ = 50; y₂ = 80; y₃ = 100 , то потрібно запланувати такі об-

сяги виробництва для першої галузі - 821, для другої - 1402 і для третьої - 1577.

3) Для знаходження виробничої програми кожної галузі, знай-демо добуток коефіцієнтів прямих витрат і валового випуску проду-кції:

x₁₁ = a₁₁ x₁ = 0 ,2 ⋅ 821 = 164 ,2; x₁₂ = a₁₂ x₂ = 0 ,3 ⋅ 1402 = 420 ,6 ;

^x13 ⁼ ^a13 ^x3 ^x22 ⁼ ^a22 ^x2 ^x31 ⁼ ^a31 ^x1 ^x33 ⁼ ^a33 ^x3

= 0 ,1 ⋅ 1577 = 157 ,7 ; x₂₁ = a₂₁ x₁ = 0 ,1 ⋅ 821 = 82,1;

= 0 ,2 ⋅ 1402 = 280 ,4; x₂₃ = a₂₃ x₃ = 0 ,5 ⋅ 1577 = 788,5; = 0 ,1 ⋅ 821 = 82,1; x₃₂ = a₃₂ x₂ = 0 ,3 ⋅ 1402 = 420 ,6 ;

= 0 ,6 ⋅ 1577 = 946 ,2.

Різниця між матрицею повних витрат B⁻¹ і матрицею прямих витрат A визначає матрицю непрямих (посередницьких) витрат C :

,21 2,83 4 ,34 ,2 0 ,3 0 ,1

C = B⁻ ¹ − A = 2 ,08 5 ,85 8,3 − 0 ,4 0 ,2 ,5 =

,77 5 ,09 9,81 0 ,1 0 ,3 ,6

3,01 2,53 4 ,24

1,68 5 ,65 7 ,8 .

3,67 4 ,79 9,21

Таким чином, елементи с_ij матриці C і є коефіцієнтами не-

прямих (посередницьких) витрат.

Задача 2.(задача знаходження витрат сировини, палива та трудових ресурсів.)Використовуючи вихідні дані і результати об-числень попередньої задачі 1, потрібно знайти:

1. Сумарні витрати сировини, палива і трудових ресурсів для виконання програми виробництва.

2. Коефіцієнти прямих витрат сировини, палива та праці на одиницю продукції кожної галузі.

3. Повні витрати сировини, палива і праці окремими галузями

і господарством в цілому.

4. Внутрівиробничі витрати галузей.

5. Внутрівиробничі витрати на кожну одиницю товарної продукції.

При цьому відомі витратні норми сировини і палива на виро-бництво одиниці продукції кожної галузі, трудомісткість в людино-годинах на одиницю продукції, їх вартість і представлені таблицею:

Показники Норми витрат цехів Вартість

Сировина 0,8 1,2

Паливо 1,5

Трудомісткість 1,5

Розв’язування. Запишемо матрицюD,складену із норм ви-трат сировини, палива та праці, а також матрицю-рядок P вартос-

0 ,8 1,2

тей цих показників. D = 1,5 , P =[6 4 1,5].

Запишемо також результати обчислень попередньої задачі:

,21 2,83 4 ,34

X = , B⁻ ¹ = ,08 5 ,85 8,3 ,

,77 5 ,09 9,81

де X - матриця-стовпець плану валового випуску продукції;

B⁻¹ -матриця коефіцієнтів повних витрат.

1) Перемноживши матрицю D норм витрат сировини, палива та праці і матрицю-стовпець плану валового випуску продукції X , одержимо матрицю-стовпець сумарних витрат сировини, палива і трудових ресурсів:

0 ,8 1,2 0 ,8 ⋅ 821 + 1 ⋅ 1402 + 1,2 ⋅ 1577

D ⋅ X = 1,5 = 3 ⋅ 821 + 1,5 ⋅ 1402 + 2 ⋅ 1577 ≈

8 ⋅ 821 + 5 ⋅ 1402 + 5 ⋅ 1577

3951 ≈ 7720 .

Отже, для виконання програми виробництва потрібно витра-тити 3951 одиниць сировини, 7720 одиниць палива і 21463 робочих людино-годин.

2) Добуток матриці D норм витрат сировини, палива та праці

і матриці коефіцієнтів повних витрат B⁻¹ визначає матрицю коефіцієнтів прямих витрат сировини, палива та праці на одиницю продукції кожної галузі:

0 ,8 1,2 ,21 2,83 4 ,34

V = D ⋅ B − 1 ₌ 1,5 ,08 5 ,85 8,3 =

,77 5 ,09 9,81

9 ,17 14 ,22 23 ,54

₌ ,29 27 ,45 45 ,09 _.

,93 77 ,34 125 ,27

Тут елементи першого стовпця означають кількість витрат си-ровини, другого – палива і третього – робочих людино-годин, які потрібні для виготовлення одиниці продукції 1-ї, 2-ї і 3-ї галузей.

3) Добутки матриць-стовпців норм витрат сировини, палива та праці і планового випуску продукції виражають витрати сировини, палива та праці кожного із трьох галузей:

0 ,8 656 ,8

; П 1,5 ⋅ 1402 ;

^П1 ⁼ ⋅ 821 = 2 ⁼ = 2103

1,2 1892 ,4

П₃ = ⋅ 1577 = .

Таким чином, матриця повних витрат сировини, палива та праці по трьох галузях має вигляд:

656 ,8 1892 ,4

П = ^.

4) Перемноживши матрицю-рядок вартостей сировини, палива та праці на матрицю повних витрат цих показників одержимо мат-рицю-рядок вартостей витрат кожної із трьох галузей:

656 ,8 1892 ,4

P ⋅ П =[6 4 1,5 ] ⋅ =[14778 27339 35797 ,9].

Це означає, що вартість витрат першої галузі становить 14778 оди-ниць, другої – 27339 і третьої – 35797,9.

5) Добуток матриці-рядка вартостей P на матрицю прямих витрат V сировини, палива та праці дає внутрівиробничі витрати на кожну одиницю товарної продукції:

9,17 14 ,22 23,54

P ⋅ V =[6 4 1,5 ] ⋅ ,29 27 ,45 45 ,09 =[ 218,58 311,13 509 ,51].

,93 77 ,34 125 ,27

Задача 3.Для виготовлення дитячих іграшок використову-ються відходи полотняних матеріалів (М₁,М₂,М₃) різних розмі-

рів. Обчислити кількість матеріалу, який витрачається при розкрої трьома способами, якщо кількість заготовок одержаних з кожного матеріалу, а також кількість необхідних заготовок представлена таблицею:

Вид заготовки Спосіб розкрою Кількість заготовок

М₁

M₂

M₃

Розв’язування. Якщо x₁ , x₂ , x₃ -кількість вихідного матеріалу

( М₁ , М₂ , М₃ ) ,який використовується для розкрою відповідно пе-

ршим, другим і третім способами, то для виконання поставленої ме-ти, потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь:

x₁ + 2 x₂ + 3 x₃ = 126 , 2 x₁ + 3 x₂ + 2 x₃ = 134 ,

4 x₁ + 3 x₂ + 3 x₃ = 189.

Розв’яжемо її методом Гаусса. Виключимо невідому величину x₁ із другого і третього рівнянь.Для цього помножимо перше

рівняння на “-2”, “-4” і додамо відповідно до другого і третього рів-нянь:

x₁ + 2 x₂ + 3 x₃ = 126 ,

x₂ + 4 x₃ = 118,

− 5 x₂ − 9 x₃ =−315.

Виключимо невідому x₂ із третього рівняння. При цьому по-множимо друге рівняння на “5” і додамо до третього рівняння:

x₁ + 2 x₂ + 3 x₃ = 126 ,

x₂ + 4 x₃ = 118,

11x₃ = 275.

Звідси, розв’язок системи лінійних рівнянь буде х₁=15;х₂=18;х₃=25. Отже,при певних методах розкрою матеріалу,потрібно мати15 шт. матеріалу М₁, 18 шт. матеріалу М₂ і 25 шт. матеріалу М₃

Задача 4.Для виготовлення чотирьох видів продукціїP₁, P₂, P₃,P₄ використовуються три види сировини S₁, S₂, S₃.Норми витрат ізапаси сировини наведені в таблиці:

Сировина Витрати сировини на одини- Запаси сировини

цю продукції

P₁ P₂ P₃ P₄

S₁

S₂

S₃

Визначити кількість продукції P₁, P₂, P₃, P₄, якщо ресурси по-вністю вичерпані.

Розв’язування. Позначимо черезx₁, x₂, x₃, x₄кількість одиницьпродукції P₁, P₂, P₃, P₄. Умову нашої задачі можна записати у вигля-ді системи лінійних рівнянь:

3 x₁ + 2 x₂ + 2 x₃ + x₄ = 14 ,

^{2 x}1 + ^{5 x}2 + ^{2 x}3 + ^{3 x}4 = 15 ,

x₁ + 2 x₂ + 2 x₃ + 3 x₄ = 10.

Розв’яжемо її методом Жордана-Гаусса в табличній формі. В якості першої таблиці запишемо коефіцієнти, які стоять біля неві-домих і стовпчик з вільних членів. Стовпець ( Σ ) є контрольним,

який представляє суму чисел відповідного рядка.

Таблиця x₁ x₂ x₃ x₄ b_i ∑

×(- 2),(

-3)

-4 -4 -8 -16 -32

-2 -3 -5 -9 ×(-2),(4)

×(-1/12)

-

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь	\|	Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ І ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.024 сек.