Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Задача розподілу ресурсів

Важливий клас економічних задач утворюють процеси розподілу, обумовлені завжди обмеженістю ресурсів і засобів, необхідних для функціонування певної системи. Зміст задачі полягає в пошуку такого плану розподілу ресурсів, який би забезпечував результат, оптимальний за певним критерієм якості.

Розглянемо в загальному вигляді задачу багатоетапного розподілу ресурсів, та подамо алгоритм її розв’язування.

Нехай в наявності є деяка кількість засобів , які потрібно вкласти в

розвиток двох неоднорідних підприємств. Відомо, що якщо в перше підприємство вкласти , а в друге – засобів, то прибуток, відповідно, буде становити і . Необхідно так вибрати величину у (розподілити засоби між підприємствами), щоб загальний прибуток був максимальним, тобто значення функції стало максимальним

(5.2)

Якщо функції g і h неперервні при всіх значеннях у, тоді максимальне значення функції завжди існує і визначає величину можливого максимального прибутку в однокроковому процесі. Необхідно зауважити також, що одиниці вимірювання прибутків можуть відрізнятися від одиниць вимірювання засобів .

Розглянемо тепер двоетапний процес. Припустимо, що за рахунок витрат, необхідних для отримання прибутку , початкова кількість засобів у зменшується до величини ау, де а- деяка стала (0 < а < 1), а початкова кількість засобів (х-у)до величини за рахунок витрат, що дають прибуток h(x-y). Таким чином, після здійснення одноетапного процесу залишок засобів буде складати х₁= . На другому етапі вибираємо так, щоб функція

як функція двох змінних у і приймала найбільше значення.

В -етапному процесі, в якому процедура розподілу проводиться послідовно N разів, повний прибуток визначається функцією

(5.3),

де величини , які підлягають подальшому розподілу після першого, другого, ..., ( )-го етапів, визначаються наступними співвідношеннями:

……………........................................

(5.4)

Максимальний сумарний прибуток отримується при тих значеннях змінних, при яких функція (5.3) як функція змінних приймає найбільше значення, і які задовольняють системі обмежень (5.4). Їх знаходження зв'язане з великими труднощами, тому здійснимо його поетапно, дотримуючись принципу оптимальності в -етапному процесі. Зауважимо, що максимальне значення повного прибутку в N-етапному процесі залежить тількивід і величини х. Тому визначимо функцію як максимум прибутку, отриманого від -етапного процесу, який починається з величини , для і х >0, тобто

Для одноетапного процесу отримаємо функціональне рівняння

. (5.5)

Розглядаючи двохетапний процес, зауважимо, що повний прибуток складається із прибутків від першого і другого етапів, на яких розподілу підлягає одиниць ресурсу. Значить, якщо вибрали оптимально, то на другому етапі отримаємо прибуток , а повний прибуток від двохетапного процесу виразиться рекурентним співвідношенням

. (5.6)

Міркуючи аналогічно, для N-етапного процесу отримаємо основне функціональне рівняння

,(5.7)

де N>2. Використовуючи функцію (5.5) за формулою (5.7), обчислюємо , , ... , . При цьому на кожному етапі обчислення отримуємо не тільки , але й , оскільки розподіл вихідних ресурсів х був оптимальним.

Застосування описаного вище методу до розв'язування задач ДП дозволяє звести одну - вимірну задачу до послідовності N одновимірних задач.

Припустимо, що в процесі розподілу ресурсів на х і х-у на k-му кроці отримали прибуток і для подальшого розподілу засобів залишилось . Необхідно визначити управління, що максимізує повний прибуток від N -етапного процесу.

Нехай, функції і неперервні при і , задовольняє подвійній нерівності

а – повний прибуток від -етапного процесу, який починається з величини на k-мукроці. Тоді для одноетапного процесу . Аналогічно при отримаємо . Подвійні індекси значно ускладнюють обчислення, тому при записі функціональних рівнянь будемо використовувати один індекс. Вважатимемо, що кожному етапу відповідає певне значення і визначимо функцію як повний прибуток від процесу, що починається з величини на k-му етапі і закінчується на -му етапі, якщо витримується принцип оптимальності. Тоді одержимо наступні функціональні рівняння:

(5.8)

(5.9)

Проілюструємо дію наведенного вище алгоритму на конкретному прикладі.

Приклад 5.1. Для розвитку двох галузей виробництва А і В на 3 роки виділено х засобів. Кількість засобів у, вкладених в галузь А, дозволяє отримати за один рік прибуток і зменшується до величини . Кількість засобів х-у, вкладених в галузь В, дозволяє отримати за один рік прибуток і зменшується до величини .

Необхідно так розподілити виділені ресурси між галузями виробництва на роки планового періоду, щоб повний прибуток був максимальним.

Розв'язок. Період, тривалістю 3 роки, розіб'ємо на 3 етапи, співставивши кожному року один етап, тобто , k =1; 2; 3. Розглядуваний процес є неперервним, хоча величини і у на кожному етапі для наочності будемо відзначати індексами.

Знаходження оптимального розв'язку почнемо з третього етапу, на початку якого розподілу підлягає залишок засобів з другого етапу. Для цього знайдемо оптимальне значення . Складемо вирази для функцій, що входять в рівняння (5.8) і (5.9):

;

Використовуючи класичні методи дослідження функції однієї змінної на екстремум, отримаємо, що в точці функція досягає мінімуму, який рівний .

Значення функції на кінцях відрізка відповідно дорівнюють:

, .

Оскільки , то функція досягає максимального значення на відрізку при , і .

Таким чином, максимальний прибуток на останньому етапі досягається в тому випадку, якщо на початку етапу всі засоби, що залишилися з попереднього вкласти в розвиток галузі В.

Використовуючи рівняння (5.9), послідовно визначимо оптимальний розподіл засобів на другому і першому етапах.

Для другого етапу

, (5.10)

де – сума засобів, що залишилася, якщо на 2 -ому етапі буде використано засобів в галузі А і – в галузі В, тобто . Тоді з (5.10) отримаємо для другого етапу:

Функція досягає мінімального значення при і воно приблизно дорівнює . На кінцях відрізка : , . Оскільки , то функція приймає максимальне значення на відрізку при . Тому .

Значить, максимальний прибуток на другому етапі буде досягнутий в тому випадку, коли на початок етапу всі засоби, що залишилися з попереднього, вкласти в розвиток галузі В.

Запишемо функціональне рівняння для першого етапу:

. (5.11)

Тут , визначає кількість засобів, що залишилися від попереднього етапу. Враховуючи, що отримаємо, що

Функція досягає мінімального значення при і воно приблизно дорівнює 1,35 . На кінцях відрізка : , . Оскільки , то функція приймає максимальне значення на відрізку при і воно приблизно дорівнює . Таким чином, .

Значить, максимальний прибуток на першому етапі отримаємо тоді, коли на його початку всі наявні засоби вкласти в розвиток галузі А.

Виходячи з проведеного розв'язування, робимо висновок, що на початок першого року всі виділені засоби необхідно вкласти в галузь А і їх кількість зменшується до величини . На початку другого року залишок засобів потрібно вкласти в галузь В і їх кількість зменшується до величини . На початок третього року залишок засобів знову вкладається в галузь В і зменшується до величини . При такому розподілі ресурсів максимальний дохід буде дорівнювати .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|	Задача про збільшення виробничих потужностей за рахунок відрахувань з прибутку

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.