Тензор деформацій. Головні деформації

Взаємозв'язок теорії напруг і теорії деформацій виражається в математичній аналогії: всі формули теорії деформації можна одержати з аналогічних формул теорії напруг, якщо в останніх замінити нормальні напруги лінійними деформаціями, а дотичні - половинами кутових деформацій.

В зв'язку з цим лінійна деформація по довільному напрямку , заданому напрямними косинусами визначається аналогічно залежності (1.7):

(1.48)

Кутова деформація в довільній площині , заданій векторами й з напрямними косинусами й визначається формулою, аналогічною (1.10):

(1.49)

Аналогічно тензору напруг деформований стан тіла в даній точці описується тензором деформацій

(1.50)

Тензор деформацій можна розкласти на кульовий тензор і деіиатор деформацій:

(1.51)

де

(1.52)

Величина — це середня деформація в точці; — одиничний тензор, обумовлений формулою (1.22), — девіатор деформацій:

(1.53)

Девіатор деформацій характеризує зміну форми тіла в околиці розглянутої точки, тому що об'ємна деформація, рівна сумі компонентів головної діагоналі девіатора деформацій, відсутня:

Аналогічно головним напругам можна знайти головні деформації, тобто такі деформації, в площині яких відсутні зсуви. Ці деформації визначаються, як і головні напруги, з кубічного рівняння, коефіцієнти якого являють собою інваріанти деформованого стану:

(1.54)

Таким чином, об'ємна деформація (1.39) є інваріантом стосовно вибору системи координат.

Напрямки трьох головних деформацій взаємно перпендикулярні й називаються головними осями деформацій. По напрямках цих осей можливе тільки розтягання або стиск, а зсуви відсутні.

Аналогічно інтенсивності дотичних напружень (1.26) в теорії деформації використовується інваріант, який називається інтенсивністю деформації зсуву, і такий, що представляє собою подвоєний кут зсуву в площині октаедричної площадки:

(1.55)

Інтенсивності напруг (1.27) в теорії деформацій відповідає інтенсивність деформації:

(1.56)

За аналогією з напрямним тензором напруг вводиться поняття напрямного тензора деформацій, під яким розуміється девіатор деформацій, кожний компонент якого розділений на половину інтенсивності деформацій зсуву:

(1.57)

Як і напрямний тензор напруг, направляючий тензор деформацій визначає тільки головні напрямки деформацій і співвідношення між компонентами тензора деформацій, але не визначає їхнього значення.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Рівняння нерозривності деформацій	\|	Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.