• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Дисперсія системи функцій випадкових величин

Якщо маємо систему декількох нелінійних функцій системи випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п )

Y = f(Х) = , (3.60)

то спочатку їх приводять до лінійного виду.

Розклавши в ряд систему функцій (3.60) отримаємо систему лінійних функцій:

, (3.61)

де за умови Х = Х₀.

Математичним сподіванням системи випадкових функцій М_y системи випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п )за аналогією з формулою (3.52) буде

, (3.62)

де визначається за формулами (2.15 – 2.17).

Дисперсією системи випадкових функцій D_y системи випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п)є кореляційна матриця функцій випадкових величинK_y. В матричному вигляді маємо

. (3.63)

В розкритому вигляді матриці елементів формули (3.63) будуть

. (3.64)

Причому, якщо в матриці K_y кореляційні моменти K_ijвизначають залежність між випадковими величинами аргументів Х_іі Х_j, то в матриці K_y кореляційні моменти K_ij визначають залежність між випадковими функціями Y_i і Y_j. Величину коефіцієнта кореляції між випадковими функціями Y_i і Y_j обчислюють за формулою

. (3.65)

Приклад 1. Випадкові величини Х та Y пов’язані відношенням

z = x + 2xy + 2y – 1.Ймовірність появи кожної із них однакова, а реалізації приведені в табл.3.1.

Таблиця 3.1

Необхідно визначити: а) математичні сподівання, дисперсії і стандарти випадкових величин Хі Y; б) кореляційну матрицю K_x і нормовану матрицю системи випадкових величин (X); в) математичне сподівання, дисперсію і стандарт випадкової функції Y.

Розвязання. а) Для визначення математичних сподівань випадкових величин Хі Y використаємо формулу (2.16). Так як ймовірність появи випадкових величин однакова, а число їх N = 5, то ймовірність появи кожної із них в дослідженнях буде дорівнювати

, а =0,2;

, а =0,2.

Розрахунки виконані виходячи з того, що сума ймовірностей складає повну групу подій. Тоді за формулою (2.16) маємо

=(5,0 + 5,2 + 4,8 + 5,1 + 4,9) 0,2 = 5,0;

= (1,0 + 0,8 + 1,2 + 0,6 + 0,4) 0,2 = 1,0.

Дисперсії випадкових величин обчислюють за формулою (2.27). Так як = 0,2, то дисперсії дорівнюють:

= [0² + (0,2)² + (-0,2)² + (0,1)² + (-0,1)²]0,2 = 0,02;

= [0² + (-0,2)² + (0,2)² + (-0,4)² + (0,4)²]0,2 = 0,08.

Стандарти будуть дорівнювати:

= 0,14; =0,26.

б) Для визначення кореляційної матриці K_x обчислимо кореляційний момент між випадковими величинами ХіY за формулою (3.22). Так як = 0,2, то = 0,2 × 0,2 = 0,04.

Тоді

K_ху = K_ух = [0× 0 + 0,2 × (-0,2) + (-0,2) × 0,2 + 0,1 × (-0,4) + (-0,1)×0,4] ´ 0,04 = 0,0064.

Кореляційна матриця K_x згідно з формулою (3.34) буде

= .

За формулою (3.37) обчислимо коефіцієнт кореляції

= -0,12.

Нормована кореляційна матриця за формулою (3.38) буде

.

в) Математичне сподівання випадкової функції Z згідно з формулами (3.48) і (3.49) буде

M_z = M_x + 2M_x M_y + 2 M_y – 1 – K_xy = 5 + 2×5×1 + 2×1 – 1 – 0,0064 = 15,9936.

Дисперсію випадкової функції Z обчислимо за формулою (3.57)

=

.

При Х₀ = М_x ; Y₀ = M_y

D_Z = (1 + 2× 1)² 0,02 + (2× 5 + 2)² 0,08 + 2 (1 + 2 × 1) (2 × 5 + 2)´(- 0,0064) = 11,53.

Тоді стандарт функції Zбуде

= 3,36.

Приклад 2. На пункті полігонометрії способом кругових прийомів виміряні кути у₁, у₂ і у₃(рис.3.4). Найти кореляційну матрицю К_y, коефіцієнт кореляції між кутами r_ij і дисперсію кута у₄ = у₁ + у₂, якщо

виміряні напрямки х₁, х₂, х₃,х₄незалежні між собою, а їх стандарт дорівнює .

Рис.3.4

Розв’язання. Так як кути обчислюються через значення виміряних напрямків, то складемо вектор-функцію (3.60):

у = f(x) =

Кореляційна матриця обчислюється за формулою (3.63). Коефіцієнти матриці A обчислюються як часткові похідні А_ij = , так А₁₁ = -1; А₁₂ = + 1 і т.д.

Тоді

.

Виходячи з того, що виміри рівноточні і незалежні між собою, то за формулою (3.36) кореляційна матриця .

За формулою (3.63) обчислимо кореляційну матрицю K_y

K_y =А s² А^Т = 4 =

=4 = .

По діагоналі розміщені дисперсії кутів. Причому вони рівноточні, так як = 8. Тоді стандарт кута .

Із отриманої матриці K_yвидно, що спостерігається залежність тільки між суміжними кутами, так як

K₁₂ = K₂₃ = - 4, а K₁₃ = 0.

Коефіцієнти кореляції між суміжними кутами у₁ і у₂; у₂ і у₃ обчислюють за формулою (3.65)

.

Це означає, що в способі кругових прийомів, залежність між суміжними кутами завжди дорівнює r_ij = -0,5; (j = i + 1) або (i = j +1).

Дисперсія кута у₄ обчислюється за формулою (3.57) або (3.58) і дорівнює

.

Так як = + 1 і = + 1,

то ,

а дисперсія сумарного кута буде

.

§ 6. Граничні теореми теорії ймовірностей

Закон великих чиселдозволяє знайти зв’язок між теорією ймовірностей і закономірностями масових випадкових явищ, і має досить велике практичне значення.

Важливою формою закону великих чисел єтеорема П.Л.Чебишова, що встановлює зв’язок між можливим емпіричним середнім арифметичним значенням хвипадкової величини Х і її математичним сподіванням М_x.

Її формулюють так: при необмеженому збільшенні числа незалежних випробувань середнє арифметичне спостережених значень випадкової величини, що має кінцеву дисперсію, збігається за ймовірністю до її математичного сподівання.

Теорема П.Л. Чебишова цілком справедлива і при застосуванні в теорії математичної обробки геодезичних вимірів. За умовами цієї теореми на випадкові величини Х₁, Х₂, ..., Х_п накладають обмеження:

1) вони повинні мати однакові математичні сподівання, тобто

,

де а– істинне значення випадкової величини Х;

2) їх дисперсії не повинні перевищувати наперед відомого додатного числа С: ( );

3) вони повинні бути попарно незалежними, тобто будь-яке х_і і х_jпри і ¹ j незалежні.

В цьому випадку яке б не було б додатне (плюсове) число x при п ® ¥

= 1.(3.66)

Це твердження доводиться на основі нерівності Чебишова: ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання буде за абсолютною величиною не менше будь-якого додатного (плюсового) числа x, обмежена зверху величиною , тобто

. (3.67)

Якщо в формулі (3.66) випадкові величини Х₁, Х₂, ..., Х_п замінити на центровані величини , то отримаємо

= (3.68)

Це означає, що середнє арифметичне великої кількості відхилень випадкових центрованих величин, від їх математичного сподівання за умови, що і п ® ¥збігається за ймовірністю до нуля.

Таким чином, закон великих чисел виявляє як статистичні властивості, так і умови визначення середнього значення випадкової величини.

Досить велике значення в практиці має центральна гранична теорема А.М.Ляпунова.Вона виявляє умови, при яких виникає нормальний закон розподілу. Якщо випадкова величина Х відповідає вимогам:

1) вона є сумою достатньо великої кількості інших незалежних величин Х₁, Х₂, ..., Х_п (п ® ¥ ) ;

2) випадкові величини попарно незалежні, тобто Х_і і Х_j незалежні при і ¹ j;

3) відхилення випадкових величин від своїх математичних сподівань не перевищує досить малої величини в порівнянні з відхиленнями сумарної величини, тобто Х_і - .

Граничний закон розподілу для суми визначиться за формулою

. (3.69)

Тоді,згідно з теоремою А.М.Ляпунова: Якщо випадкові величини Х₁, Х₂, ..., Х_пвзаємно незалежні, мають один і той же закон розподілу з математичним сподіваннямМ_xі дисперсієюD_x при необмеженому збільшенні їх числа, закон розподілу величин Y(формула 3.69) необмежено наближається до нормального.