Математичні властивості середньої арифметичної і техніка її обчислення.

Середня арифметична має ряд математичних властивостей, важливих для спрощеного її обчислення. Найбільш важливі з них такі:

1. Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти. Тобто:

Доведення:

Якщо ліву і праву сторони поділити на постійну величину, яка дорівнює сумі Х, то одержимо

2. Якщо від кожного варіанта відняти яке-небудь довільне число, то одержана середня зменшиться на те ж число. Тобто:

звідси X = Х_А + А, де - середня розрахована із варіантів, зменшених на величину А.

Таким чином, для того, щоб визначити середню величину, слід до одержаної зменшеної середньої додати число (А), на яке зменшували кожний варіант.

3. Якщо до кожного варіанта додати будь-яке число, то середня збільшиться на це ж число. Тобто:

звідси X = Х_А - А. Таким чином, для того, щоб визначити середню величину, слід від одержаної збільшеної середньої відняти число (А), на яке збільшували кожний варіант.

4. Якщо кожний варіант поділити на будь-яке число (і), то середня арифметична зменшиться у стільки ж разів.

Таким чином, щоб визначити середню величину, слід одержану зменшену в і - разів середню величину збільшити в і - разів.

5. Якщо кожний варіант помножити на будь-яке число (і), то середня арифметична збільшиться у стільки ж разів. Тобто:

Таким чином, щоб визначити середню величину, слід одержану збільшену в і - разів середню величину зменшити в і - разів.

6. Якщо всі частоти поділити чи помножити на будь-яке число, то середня арифметична від цього не зміниться.

Ця властивість базується на тому, що частоти при розрахунку середньої арифметичної мають значення ваги не як абсолютні величини, а як питомі ваги, що мають окремі варіанти у всьому варіаційному ряді. Збільшуючи чи зменшуючи в однаковій мірі частоти всіх варіантів, тим самим не міняють питомої ваги кожного окремого варіанта в ряді.

7. Сума відхилень варіантів від значення їх середньої завжди дорівнює нулю:

Це значить, що в середній арифметичній взаємно погашаються відхилення варіантів в одну і іншу сторони.

Викладені вище властивості середньої арифметичної дозволяють в багатьох випадках значно спростити її обчислення. Виходячи з другої та четвертої властивостей можна: по-перше, відняти від всіх варіантів постійне число, найкраще взяти варіант з найбільшою частотою; по-друге, поділити всі варіанти на постійне число, як правило, за таке беруть величину інтервалу; по-третє, інколи доцільно частоти виражати в процентах.

Обчислення середньої арифметичної вказаним способом дістав у статистиці назву способу відліку від умовного нуля або «спосіб моментів». Він використовується в рядах з рівними інтервалами і формула для його обчислення має такий вигляд:

де m₁ - момент першого порядку, який визначається за формулою:

Потреба у використанні спрощених способів обчислення середньої сьогодні досить незначна, оскільки все більшого поширення набуває використання електронних машин. Це дозволяє виконувати розрахунки на основі індивідуальних даних незалежно від їх кількості.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Середня арифметична проста і зважена.	\|	Середня гармонійна та умови її застосування

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.