Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Скалярний добуток двох векторів

Означення 3.6.1. Скалярним добутком двох ненульових векторів та називається число, яке дорівнює добутку довжин векторів, що перемножуються, на косинус кута між ними:

Якщо хоча б один з векторів або є нульовим, тоді вважають . Іноді для скалярного добутку користуються іншим позначенням: . З означення скалярного добутку двох векторів випливають наступні його властивості.

Властивість 1.Скалярний добуток комутативний. Для будь-яких векторів та :

Властивість 2. Скалярний добуток довільного вектора на себе дорівнює квадрату довжини цього вектора:

Відзначимо, що скалярний добуток прийнято називати скалярним квадратом вектора та позначати: . Внаслідок властивості 2 скалярного добутку

Властивість 3. Для будь-яких векторів та : , якщо .

4 За теоремою 3.5.4 . Помножимо обидві частини цієї рівності на модуль вектора , одержимо

Таким чином, . Очевидно, при .

Властивість 4. Для будь-яких векторів та та для будь-якого дійсного вірні рівності

4 Якщо один з векторів або є нульовим, то твердження теореми справедливо. Нехай та ненульові вектори, тоді за властивістю 3 скалярного добутку та за теоремою 3.5.3 (властивість проекцій) маємо

У силу комутативності скалярного добутку: .3

Властивість 5. Якщо та – довільні ненульові вектори та , то та – ортогональні.

4 Нехай – кут між векторами та . За умовою . Оскільки і , то . В області функція лише при . Отже, вектори і ортогональні. 3

Властивість 6. Для будь-яких векторів та :

4 При зазначена рівність виконується. Нехай , тоді за властивістю 3 скалярного добутку векторів . За теоремою 3.5.2: , тому .3

Наслідок. Для будь-яких векторів та : .

У § 3.4 було показано, що будь-які три некомпланарні вектори можуть утворювати базис у тривимірному векторному просторі.

Означення 3.6.2.Якщо базисні вектори – одиничні (довжини дорівнюють одиниці) та попарно ортогональні, то базис називається ортонормованим.

Ортонормований базис може бути правим або лівим.

Означення 3.6.3.Відкладаємо вектори ортонормованого базису з однієї точки О простору. Будемо прагнути, повертаючи вектор навколо точки О у площині векторів і сполучити його з вектором . Із двох напрямків обертання варто обрати той, якому відповідає найменший кут повороту. Якщо для спостерігача, що дивиться з кінця вектора на площину векторів і , зазначений поворот вектора відбувається проти ходу годинникової стрілки, то базис вважається правим. У супротивному випадку базис – лівий. На малюнках зображені правий і лівий ортонормовані базиси.

Рис.3.5. а) Правий базис Рис.3.5. б) Лівий базис

Надалі, говорячи про ортонормований базис тривимірного векторного простору, будемо завжди вважати, що базис є правим. Легко переконатися у тому, що базис є ортонормованим тоді й тільки тоді, коли мають місце рівності

. (6.1)

Розглянемо тепер кілька завдань, з якими доводиться часто зустрічатися під час розв’язування практичних і теоретичних питань векторної алгебри.

Формула для обчислення скалярного добутку векторів,

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Проекція вектора на вісь	\|	Які задані своїми координатами в ортонормованому базисі

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.