Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

ЛЕКЦІЯ 2

Кожна з подій має різний ступінь можливості появи у досліді. Для кількісного порівняння можливості появи подій використовується поняття їхньої ймовірності.

Ймовірністю події називають число, яке характеризує об'єктивний ступінь можливості появи цієї події у даному досліді.

Зазвичай для подій використовують наступні позначення їх ймовірностей: .

З визначення ймовірності події випливає, що ймовірністьдостовірної події дорівнює одиниці, 1, а ймовірністьнеможливої події дорівнює нулю, 0. Інші події, які є можливими, але не є достовірними, характеризуються ймовірностями, що укладені в інтервалі

Важливо відзначити, що ймовірність події відбиває не результат конкретного досліду, а показує ступінь можливості отримання даного результату в цьому досліді.

Події, які одночасно є рівноможливими, несумісними і такими, що складають повну групу, називають випадками.

Дослід зводиться до схеми випадків, якщо він за своєю структурою має симетрію можливих наслідків, тобто таких, які являють собою вичерпну систему рівноможливих наслідків, що виключають друг друга. Найпростішим прикладом досліду, що зводиться до схеми випадків, є спостереження однієї зі сторін монети після її підкидання.

Для дослідів, що зводяться до схеми випадків, є можливим безпосередній підрахунок ймовірностей, який не потребує здійснення самих дослідів. При цьому ймовірність появи тієї або іншої події може бути обчислена безпосередньо з відомих умов досліду.

Метод безпосереднього підрахунку ймовірностей полягає в наступному.

Якщо дослід зводиться до схеми випадків, тоді ймовірність появи події в цьому досліді дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють цій події, до загального числа випадків, тобто

, (1)

де число випадків, що сприяють події ; загальне число випадків (наслідків) досліду.

Випадок називають таким, що сприяє події , якщо його поява тягне обов'язкову появу події.

У прикладі з монетою у результаті безпосереднього підрахунку ймовірностей одержимо 1/2, де події, що складаються в спостереженні відповідних сторін монети.

Число сприяючих наслідків завжди укладається між 0 (для неможливої події) та (для достовірної події), тому завжди виконується

тобто ймовірність, яку обчислено відповідно до виразу (1), завжди є раціональний правильний дріб.

Приклад. У партії із транзисторів міститься бракованих. Вилучається транзисторів із цієї партії.

Потрібно визначити ймовірність події , яка полягає у тому, що серед них опиниться бракованих.

Загальне число варіантів вибору із транзисторів по дорівнює числу сполучень із по . Число варіантів вибору бракованих транзисторів із числа дорівнює . Оскільки кожне вилучення бракованих транзисторів може поєднуватися з кожним вилученням справних транзисторів, то число варіантів, що сприяють події , дорівнює . Відповідно до класичного визначення ймовірності отримуємо

Вираз (1) дозволяє виконати підрахунок класичної ймовірності. Він використовується для безпосереднього підрахунку ймовірностей, який є можливим тоді й тільки тоді, коли дослід має симетрію можливих наслідків і зводиться до схеми випадків.

Поняття рівноможливості використовується у дослідах з нескінченою кількістю випадків. Типовим є наступне завдання. В область кидається точка. Необхідно визначити ймовірність того, що точка потрапить в область (рис. 1).

Рис. 1. Геометричне трактування ймовірності

В загальному випадку формула для розрахунку ймовірності має вигляд

Реальні досліди звичайно не зводяться до схеми випадків. Досить вказати хоча б такі досліди, як приймання повідомлення або спостереження телевізійного сигналу, де принципово не може бути симетрії через випадкове виникнення і характер радіозавад. Відповідно, результати цих дослідів не можуть бути надані у вигляді групи рівноможливих наслідків.

Тому на практиці використовується визначення ймовірності подій шляхом масового експерименту (багаторазового повторення досліду). Таку ймовірність, отриману дослідним шляхом, називають частотою подій або статистичною ймовірністю.

Частотою події називають відношення числа дослідів , у яких з'явилася подія , до загального числа проведених дослідів

. (2)

Позначення величини зірочкою означає, що її значення отримане статистичним шляхом у результаті проведення множини дослідів.

Частота появи події, яку отримано дослідним шляхом, може бути прийнята за міру ймовірності цієї події.

Справедливість такого твердження випливає із практики дослідження різноманітних явищ, яка показує, що більш ймовірні події відбуваються частіше, ніж менш ймовірні, тобто, між частотою події і її ймовірністю існує пряма залежність.

Я.Бернуллі математично строго довів теорему, яка визначає, що при досить великій кількості незалежних дослідів, частота появи події в цих дослідах збігається за ймовірністю до ймовірності цієї події, тобто

, (3)

де як завгодно малі позитивні числа.

Фактично це означає, що при , тому при досить великих значеннях можна вважати

. (4)

Необхідно відзначити, що існує принципова різниця між поняттями «прямування до межі» і «збіжність за ймовірністю».

Прямування до межі

(5)

передбачає наявність в (5) строгої рівності при

Збіжність за ймовірністю припускає можливі відхилення від навіть при великих значеннях . Хоча ці відхилення (викиди) малоймовірні, застосування запису вигляду (5) для збіжності за ймовірністю не зовсім коректно.

Можливість безпосереднього підрахунку ймовірності події на основі заміни істинної ймовірності події її відносною частотою має виняткову значимість для практичних завдань. Хоча той або інший результат випадкового явища не може бути передбаченим, відповідно до теореми Бернуллі, при досить довгій серії дослідів скільки-небудь значні відхилення відносної частоти події від її ймовірності будуть спостерігатися досить рідко. Чим більше ймовірність події, тим частіше вона відбувається. Ці обставини дозволяють радіоінженерам будувати свою практичну діяльність так, ніби події, що розглядаються, здійснюються відповідно до їх ймовірностей.

Природно, наприклад, при створюванні радіоелектронних систем вибирати ті елементи, які раніше відмовляли дуже рідко, і, навпаки, при експлуатації радіоелектронних систем створювати запас тих елементів, які раніше відмовляли часто.

Для одержання обґрунтованого розв'язання подібних завдань потрібна кількісна оцінка значень ймовірності випадкових подій.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Подія. Ймовірність події	\|	Співвідношення між подіями. Умовна ймовірність

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.