Позначимо . Припустимо, що точка с - внутрішня точка D(f).
def. зростає в т
Аналогічно дається означення спадної функції в точці.
def. монотонна в точці зростає або спадає в точці .
Теорема(достатня умова монотонності функції в точці)
диференційована в т. c та , то ( ) в т. с.
Теорема 5.12(критерій нестрогої монотонності функції на інтервалі).Якщо – диференційована на , то для того, щоб функція була неспадною (незростаючою) на цьому інтервалі необхідно і достатньо, щоб похідна у всіх точках інтервалу була невід’ємною (недодатною), тобто .
Доведення.Достатність. Нехай , , а для визначеності припустимо, що . Оскільки диференційована на інтервалі то вона диференційовна на відрізку , що лежить в середині цього інтервалу, тоді неперервна на .
Отже, вимоги теореми Лагранжа здійснюються на відрізку , тому можна знайти точку таку, що .
Якщо на , а за припущенням , тоді , тобто . Таким чином , – не спадна.
Необхідність:
Дано: диф. на , не спадна.
Довести:
Пп:, тоді із теореми про достатню умову монотонності функції в точці, маємо, що в т. с спадає, що суперечить умові. ■
Теорема(достатня умова строгої монотонності функції на інтервалі)