Означення екстремума функції, необхідні і достатні умови існування локального екстремума.

def..Точка - точка локального максимуму функції

1) точка - внутрішня точка ;

2) .

Аналогічно дається означення локального мінімуму функції.

def..Точка - точка локального екстремуму функції в точці с функція має локальний максимум або локальний мінімум.

Теорема Ферма(необхідна умова локального екстремуму).

диференційована в т. c та т. с точка локального екстремуму, то

Доведення. . – диференційована в т с .

Оскільки т. с – точка локального екстремуму, то в цій точці функція не може спадати, а тому її похідна в цій точці не може бути меншою за нуль, вона також не може зростати, тому похідна не може бути більшою за нуль, Отже, . ■

Теорема(перша достатня умова loc extr)

Доведення.І) Нехай - довільна точка проколотого -околу. Оскільки функція диференційовна в , то вона диф. на пів відрізку , а тому і непер. на ньому. Крім того, функція неперервна в точці с. Тому можна застосувати на цьому відрізку теорему Лагранжа: , де ξ лежить поміж х і с.

ІІ) доведення аналогічне І)

ІІІ) Нехай для визначеності в усіх точках із є додатнім, тоді

в с точці немає loc extr. ■

Теорема 5.15(друга достатня умова loc extr)

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Умови монотонності функції	\|	Доведення.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.