МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Непорожню підмножину H групи G називають підгрупою цієї групи, якщо Н є групою відносно бінарної операції, визначеної в групі G.Групу за додаванням називають адитивною,за множенням – мультиплікативною.
Перевірка того, чи непорожня підмножина Н групи G є підгрупою групи G, включає: 1) чи містить Н разом із будь-якими своїми елементами g1 та g2 і результат операції між ними, тобто елемент g1g2; 2) чи містить Н разом із будь-яким своїм елементом g і обернений йому елемент g-1. Теорема (про перетин підгруп). Якщо Н1 і Н2 – підгрупи групи G, то їх перетин Н1Н2 теж є підгрупою групи G. Доведення. Якщо елементи a i b належать перетину Н1Н2, то вони містяться в кожній з підгруп Н1 та Н2, тому елементи ab та a-1 теж містяться в кожній з підгруп, а тому і в їх перетині. Отже, Н1Н2 – теж підгрупа групи G.▲ Підгрупа, що складається з усіх степенів елемента gG, називається циклічною підгрупою групи G, породженою елементом g. Позначається <g>. Група G називається циклічною, якщо вона складається тільки зі степенів одного із своїх елементів g, тобто збігається з однією із своїх циклічних підгруп <g>. Елемент g називають твірним елементом циклічної групи <g>. Кожна циклічна група є абелевою. Приклади. 1. Адитивна група Z цілих чисел – нескінченна циклічна група з твірним елементом 1 (можна –1). 2. Група за множенням, що складається з 1 та –1, є циклічною групою 2-го порядку з твірним елементом –1. Ізоморфізм груп Групи G i G1 називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що коли будь-яким елементам a,bG відповідають елементи a1,b1G1, то результату операції ab між елементами групи G відповідає результат операції a1b1 між елементами групи G1. Тут – позначення операції в групі G, – в групі G1. Приклади. 1. Адитивна група Z цілих чисел ізоморфна адитивній групі G парних чисел (відображення k2k, kєZ). (Z,+)({2k, kєZ},+). 2. Мультиплікативна група R+ додатних дійсних чисел ізоморфна адитивній групі R всіх дійсних чисел. (R+,•)(R,+).
При ізоморфному відображенні груп G та G1: 1) одиничний елемент групи G відображається в одиничний елемент групи G1; 2) будь-яка пара взаємнообернених елементів g та g-1 групи G відображається в пару взаємнообернених елементів групи G1. б)Кільце
Непорожня множина К, на якій визначено операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови: 1) множина К є адитивною абелевою групою; 2) множина К є мультиплікативною півгрупою; 3) операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто a,b,cєK [(a+b)c = ac+bc; c(a+b) = ca+cb]. Позначається (К,+, •). Кільце називають комутативним, якщо операція множення в кільці комутативна. Приклади. 1. (Z,+, •), (Q,+, •), (R,+, •). 2. ({2k, kєZ},+,•). Ненульове кільце, в якому є одиничний елемент е, називають кільцем з одиницею. Елементи а,b кільця К називаються дільниками нуля, якщо аθ, bθ, але ab = θ. θ – нульовий елемент кільця. Комутативне кільце з одиницею, в якому немає дільників нуля, називається цілісним кільцем (областю цілісності). Підмножина К1 кільця К називається підкільцемкільця К, якщо К1 є кільцем відносно операцій додавання і множення, визначених в кільці К. Перевірка того, що дана підмножина кільця є його підкільцем, включає вияснення, чи різниця й добуток довільних двох елементів підмножини К1 належить до К1. Приклади. 1. Кільце парних чисел – підкільце кільця цілих чисел. 2. Кільце цілих чисел – підкільце кільця раціональних чисел. 3. Кільце раціональних чисел – підкільце кільця дійсних чисел.
Ізоморфізм кілець Кільця К і К1 називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що для будь-яких елементів a,bК і відповідних їм елементів a1,b1К1 сумі a+b відповідає сума a1+b1, добутку ab відповідає добуток a1b1.
в)Поле Комутативне кільце з одиницею, в якому кожен ненульовий елемент є оборотним, називається полем. Позначають (Р,+, •). Поле (Р,+, •) являє собою поєднання в тій самій множині Р двох абелевих груп – адитивної (Р,+) та мультиплікативної (Р\{0},•). Приклади. 1. (Q,+, •). 2. (R,+, •). Ясно, що ніяке поле не має дільників нуля. Характеристикою поля Р називають: - число нуль, якщо ne=θ лише при n=0; - натуральне число р, якщо pe = θ і немає такого кєN, меншого ніж р, що ке = θ. Ясно, що ненульова характеристика р поля Р є числом простим. Підмножину Р1 поля Р називають підполем цього поля, якщо вона сама є полем відносно бінарних операцій, визначених у полі Р. Поле Р при цьому називають розширенням поля Р1.
Читайте також:
|
||||||||
|