Кільце многочленів

Многочлени від однієї змінної

Многочлени

Многочленом ( поліномом: поліс – багато, номе – член) від однієї змінної над цілісним кільцем R називається вираз виду a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀, де n – довільне ціле невід’ємне число, a_n, a_n-1, ..., a₁, a₀ – елементи цілісного кільця R, x, x²,…, x^n-1, xⁿ – деякі символи.

х^k називають k-м степенем змінної (невідомого) х, a_k – k-м коефіцієнтом многочлена, a_kx^k – k-м членом многочлена (k = 0,1,...,n); a₀ називають ще вільним членом.

Позначають многочлени від змінної х малими латинськими буквами: f(x), g(x), q(x),…, множину всіх многочленів від х над цілісним кільцем R – R[x].

Відмінний від нуля член многочлена f(x), степінь якого більший за степінь усіх інших ненульових членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена f(x). Степ інь многочлена f(x) позначають deg f (degree – степінь).

Форму запису многочлена, впорядкованого за спаданням степеня x^k, називають канонічною. Елемент a₀ називають многочленом нульового степеня, а елемент 0 – нуль-многочленом ( позначають θ(х) = 0).

Нехай задано два многочлени :

f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ , a_iR, i = 0, 1,…, n,

g(x) = b_mx^m+b_m-1x^m-1+…+b₁x+b₀, b_jR, j = 0,1,…, m.

Многочлени f(x) і g(x) називають рівними між собою, якщо канонічні форми цих многочленів співпадають, тобто рівними є степені обох многочленів і їх відповідні коефіцієнти.

Сумоюмногочленів f(x) і g(x) називається многочлен

Добуткоммногочленів f(x) і g(x) називається многочлен

де при i›n, при j›m.

Приклад.

c_n+m-1=a_n+mb₀ + a_n+mb₁+…+ a_n+1b_m-1 + a_nb_m + a_n-1b_m+1 +…+ a₁b_m+n-1 + a₀b_n+m= a_nb_m,

c_n+m-1=a_n+m-1b₀ + a_n+m-2b₁+…+ a_n+1b_m-2 + a_nb_m-1 + a_n-1b_m + a_n-2b_m+1 +…+ a₀b_n+m-1= a_nb_m-1+ a_n-1b_m,

…………

c₁= a₁b₀+ a₀b₁,

c₀= a₀b₀.

Множина R[x] усіх многочленів над цілісним кільцем R утворює цілісне кільце відносно операцій додавання і множення многочленів.

Дійсно, оскільки додавання і множення многочленів зводиться до виконання аналогічних операцій над їх коефіцієнтами, які є елементами деякого цілісного кільця R, то асоціативність і комутативність додавання і множення многочленів випливають із виконання відповідних властивостей в кільці R. Звідси ж випливає і дистрибутивність множення відносно додавання. Нульовий елемент в множині R[x] існує, це . Отже, R[x] – комутативне кільце. Залишилось показати відсутність дільників нуля. Якщо то якщо то Отже має старший коефіцієнт (оскільки в R немає дільників нуля) і тому не є нуль-многочленом, що й треба довести. Таким чином, R[x] – цілісне кільце.▲

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|	Подільність многочленів

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.