• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Подільність многочленів

а) Ділення з остачею

Для розгляду теорії подільності многочленів від однієї змінної цілісне кільце R, якому належать усі коефіцієнти многочленів, потрібно замінити полем Р, для того, щоб для довільного елемента існував обернений елемент , або щоб разом із довільними двома елементами ,поля Р до цього ж поля належала і їх частка . Цілісне кільце многочленів від однієї змінної з коефіцієнтами із поля Р позначають тепер P[x].

Два різні многочлени із P[x], як правило, не діляться один на одного. Однак для P[x] можна побудувати теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел, якщо операцію ділення многочленів в P[x] замінити більш загальною операцією ділення з остачею.

Вважається, що многочлен ділиться з остачею на многочлен , якщо в P[x] існують такі многочлени s(x) та r(x), що , причому або r(x)=0, або deg r<deg g.

Теорема (про ділення з остачею).

Довільний многочлен f(x) з кільця P[x] однозначно ділиться з остачею на будь-який ненульовий многочлен з цього кільця.

Доведення.

Встановимо можливість ділення з остачею. Нехай

Якщо f(x)=0, то s(x)=0 і r(x)=0.

Якщо n=deg f<deg g=m, то s(x)=0 і r(x)=f(x).

Нехай nm. Виконаємо доведення методом індукції за n.

При n=0 отримаємо m=0, f(x)=a₀, g(x)=b₀≠0, тому s(x)=, r(x)=0. Ясно, що s(x)P[x],бо P (ось де потрібна була заміна R на Р, здійснена на початку параграфа).

Припустимо, що теорема вірна для всіх многочленів f(x) степеня, меншого за n, і доведемо її для многочленів степеня n.

Розглянемо многочлен р(х)=f(x)–Cтарші члени обох многочленів справа є рівними а_nхⁿ, тобто взаємно знищаться. Тому deg p(x) < n і, за припущенням індукції, p(x) ділиться з остачею на g(x):

p(x)=g(x)·s₁(x)+r₁(x), де s₁(x),r₁(x) P[x], r₁(x)=0 або deg r₁<deg g.

Звідси

f(x) - = g(x)·s₁(x)+r₁(x), тобто

f(x)=g(x)·s(x)+r(x),

де r(x)=r₁(x)P[x], s(x)=s₁(x),

причому r(x)=0 або deg r<deg g.

Можливість ділення f(x) на g(x) з остачею доведена.

Покажемо єдиність частки s(x) і остачі r(x). Припустимо, що можливі два варіанти:

f(x)=g(x)∙s(x)+r(x), deg r<deg g ;

f(x)=g(x)∙s^*(x)+r^*(x), deg r^*<deg g.

Віднімемо рівності : g(x)[s(x) – s^*(x)]=r^*(x) – r(x).

За умовою g(x)0. Якщо б r(x)r^*(x), то й s(x)s^*(x). Але тоді отримується суперечність, оскільки степінь правої частини менший степеня лівої частини. Отже, r(x)=r^*(x). Але тоді і s(x)=s^*(x). Таким чином, частка і остача єдині.▲

Наслідок. Кільце P[x] многочленів над полем Р є евклідовим.

На практиці ділення многочленів здійснюють відомим способом „ ділення кутом ”, в основі якого лежить метод, використаний при доведенні теореми про ділення з остачею.

Оскільки частка s(x) і остача r(x) визначаються однозначно, то для їх знаходження можна користуватися і методом невизначених коефіцієнтів, який ґрунтується на прирівнюванні коефіцієнтів при однакових степенях x в лівій і правій частині рівності f(x)=g(x)∙s(x)+r(x), де s(x) шукають у вигляді многочлена із невизначеними коефіцієнтами степеня n–m , а r(x) – степеня m-1.

Приклад.

Поділити f(x) на g(x) і знайти s(x) та r(x):

f(x)=x⁴-2x³+x-1 , g(x)=x²-2.

1) Ділення кутом:

Отже, s(x)=x²–2x+2, r(x)= –3x+3.

2) Ділення методом невизначених коефіцієнтів:

x⁴–2x³+x–1=(x²–2)(A₂x²+A₁x+A₀)+(B₁x+B₀)

Отже, s(x)=x²–2x+2, r(x)= –3x+3.

б) Ділення многочлена на лінійний двочлен

Розглянемо важливий випадок ділення многочлена f(x) на лінійний двочлен x–α. Скористаємось методом невизначених коефіцієнтів.

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=(x–α)(A_n-1x^n-1+A_n-2x^n-2+…+A₁x+A₀)+r.

Тут r = const, оскільки deg r(x)=m–1=1–1=0.

Прирівнявши коефіцієнти в обох частинах, отримаємо:

a_n=A_n-1 A_n-1=a_n,

a_n-1=A_n-2-αA_n-1 A_n-2=a_n-1+αA_n-1,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a₁=A₀-αA₁ A₀=a₁+αA₁,

a₀=r-αA₀ r=a₀+αA₀.

Із отриманих формул випливає, що поділити многочлен на лінійний двочлен можна за певною схемою, яка називається схемою Горнера.

Отже, s(x)=x⁴+x³-2x²-x-3, r= -2.

Теорема (Безу). Для довільного елемента α поля Р остача при діленні

многочлена f(x)P[x] на x-α дорівнює f(α).

Дійсно, згідно формули ділення з остачею f(x)=(x-α)s(x)+r. Підставимо x=α. Отримаємо f(α)=r, що й треба довести.▲

За допомогою багаторазового ділення многочлена f(x) на лінійний двочлен x-α з допомогою схеми Горнера можна дістати розклад многочлена f(x) за степенями двочлена x-α, який часто використовується в алгебрі та математичному аналізі.

f(x)=(x-α)f₁(x)+r₀,

f₁(x)=(x-α)f₂(x)+r₁,

f₂(x)=(x-α)f₃(x)+r₂,

- - - - - - - - - - - - -

f_n-1(x)=(x-α)f_n(x)+r_n-1.

Ясно, що f_n(x) є многочленом нульового степеня. Позначимо f_n(x)=r_n. Виключивши послідовно всі f_i(x), i=1,2,…, n-1, отримаємо

f(x)=r_n(x-α)ⁿ+r_n-1(x-α)^n-1+…+r₁(x-α)+r₀.

Таким чином, отримаємо подання многочлена f(x) як многочлена від змінної y=x-α.

Приклад.

Знайти розклад многочлена f(x)=x⁵-3x³+x²-2x+1 за степенями двочлена x-1.

f(x)=(x-1)⁵+5(x-1)⁴+7(x-1)³+2(x-1)²-4(x-1)-2.

в) Подільність многочленів

Важливим для розгляду є випадок ділення многочленів “без остачі”, або, інакше, “націло”. Тоді говорять, що f(x) ділиться на g(x). Позначають: f(x)g(x).

Читайте також:

1. Кільце многочленів
2. МОДУЛЬ ІУ. «СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ. ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ.».
3. Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.

Переглядів: 2084