• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Лінійні перетворення в евклідовому просторі

а) Перетворення, спряжене до даного

Нехай – лінійне перетворення евклідового простору . Лінійне перетворення , для якого при всіх x, y V

(Ax, y) = ( x, A^*y),

називається спряженим до A.

Покажемо, що для кожного лінійного перетворення A евклідового простору існує спряжене до нього перетворення , матриця якого в довільному ортонормованому базисі є транспонованою до матриці перетворення A.

Нехай A=[a_ij] – матриця лінійного перетворення A в ортонормованому базисі

e_1, e₂, …, e_n, – матриця, транспонована до , – лінійне перетворення з матрицею в тому ж базисі. Тоді, очевидно,

(Ae_i, e_j) = (a_1ie₁ + a_2ie₂ + … + a_jie_j + …+ a_nie_n, e_j) = a_ji,

(e_i,A*e_j) = (e_i, a_j1e₁ + a_j2e₂ + …+ a_jie_i …+ + a_jne_n) = a_ji,

тобто для всіх

(Ae_i, e_j) = (e_i,A*e_j).

Тоді, якщо x = x₁e₁ + x₂e₂ + … +x_ne_n i y = y₁e₁ + y₂e₂ + … + y_ne_n, то

(Ax, y) = (Ax_ie_i, y_je_j) = x_iy_j(Ae_i e_j) i

(x, A*y) = (x_ie_i, A*y_je_j) = x_iy_j(e_i,A*e_j) = x_iy_j(Ae_i e_j) = (Ax, y),

тобто перетворення є спряженим до A .

Властивості:

1. .

Дійсно, (x, y) = (x, y) =(x, y) = (x, y).

2. .

Дійсно, (Ax, y) = (x, A*y) = (A*y, x) = (y,(A*)^* x) = ((A*)^* x, y).

3. .

Дійсно, (x,(A + B)*y) = ((A + B)x, y) = (Ax+ Bx, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =

= (x, A*y) + (x, B*y) = (x,(A^* + B*)y).

4.

Дійсно, (x,(AB)*y) = ((AB)x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B^*(A*)y) = (x,(B ^*A*)y).

5. Якщо існує, то .

Дійсно, .

б) Самоспряжені перетворення

Самоспряженим (симетричним) називається перетворення, яке співпадає із своїм спряженим, тобто .

Якщо A – самоспряжене перетворення, то x, y V (Ax, y)=( x, Ay).

Якщо матрицею самоспряженого перетворення A в ортонормованому базисі єA=[a_ij], тоді A' = A, тобто a_ij = a_ji. Така матриця називається симетричною.

Властивості:

1. Тотожнє перетворення є самоспряженим, оскільки .

2. Сума самоспряжених перетворень є самоспряженим перетворенням.

.

3. Перетворення, обернене до невиродженого самоспряженого перетворення, є самоспряженим перетворенням.

.

4. Добуток самоспряжених перетворень є самоспряженим перетворенням тоді і тільки тоді, коли ці перетворення переставні між собою.

а) якщо , і , то , тобто .

б) якщо , і , то , тобто – самоспряжене перетворення.

5. Якщо підпростір інваріантний відносно лінійного перетворення A, то його ортогональне доповнення інваріантне відносно спряженого до A перетворення .

Нехай х – довільний вектор із , у – довільний вектор із . Тоді (A^*x, y) = = (x, Ay) = 0, оскільки Ay і, значить, хAy. Значить, вектор A^*x, і є інваріантним відносно .

Наслідок. Якщо A – самоспряжене перетворення і підпростір, інваріантний відносноA, то і інваріантний відносно A.

6. Всі корені характеристичного многочлена самоспряженого перетворення A дійсні (власні значення самоспряженого оператора дійсні).

(Ax, х) = (λx, х),

(x, Aх) = = (x, х).

Оскільки A – самоспряжений, то (Ax, х) = (x, Aх), значить , тобто – дійсне.

7. Власні вектори, що відповідають різним власним значенням самоспряженого оператора, ортогональні.

Нехай – власні значення самоспряженого оператора A, а х₁ та х₂ – відповідні їм власні вектори.

(Ax₁, х₂) = λ₁(x₁, х₂), (x₁, Aх₂) = λ₂ (x₁, х₂).

(Ax₁, х₂) = (x₁, Aх₂ ), бо A – самоспряжений. Тоді

(x₁, х₂) = 0 (x₁, х₂) = 0,

що й треба було довести.

8. Матриця самоспряженого оператора в деякому ортонормованому базисі зводиться до діагонального вигляду.

Нехай – одне із власних значень самоспряженого оператора A (дійсне). Відповідний власний вектор позначимо е₁, тобто Aе₁ = λ₁е₁. Вектор е₁ можна вважати одиничним, оскільки інакше його можна замінити одиничним власним вектором з тим же власним значенням .

Позначимо через одновимірний підпростір, породжений вектором е₁. Його ортогональне доповнення буде інваріантним відносно A. Нехай – (дійсне) власне значення перетворення A в підпросторі , відповідний (одиничний) власний вектор позначимо е₂. Тоді Aе₂ = λ₂е₂. Нехай буде (інваріантним) підпростором, породженим векторами е₁ і е₂. Тоді підпростір теж інваріантний відносно A. Продовжуючи цю побудову, ми знайдемо попарно ортогональних (значить, лінійно незалежних) одиничних власних векторів перетворення A. В базисі, що складається із цих векторів, матриця А перетворення A зводиться до діагонального вигляду:

Aе₁ = λ₁е₁,

Aе₂ = λ₂е₂,

…………..

Aе_n = λ_nе_n,

звідки

А = .

Геометрично самоспряжене лінійне перетворення зводиться до розтягів з коефіцієнтами вздовж координатних осей, співнапрямлених з е₁, е_2,, …, е_n відповідно.

в) Ортогональні перетворення

Лінійне перетворення A евклідового простору V називається ортогональним, якщо воно зберігає скалярний добуток векторів, тобто якщо x, y V (Ax, Ay) = (x, y).

Це означає , що ортогональне перетворення зберігає довжини векторів та кути між ними (тому ортогональні перетворення іноді називають ізометричними).

Ясно, що ортогональне перетворення переводить довільний ортонормований базис в ортонормований і навпаки.

Властивості:

1. , тобто .

Дійсно, якщо A - ортогональне перетворення і - спряжене до нього перетворення, то x, y V

(x, y) = (Ax, Ay) = (x, A^*( A y)) = (x, A^* A y).

Значить, або . Із отриманих рівностей видно, що ортогональне перетворення завжди не вироджене.

2. Перетворення обернене до ортогонального, теж ортогональне.

Дійсно, якщо , то .

Сума ортогональних перетворень, взагалі кажучи, не буде ортогональним перетворенням.

3. Добуток ортогональних перетворень є ортогональним перетворенням.

Дійсно, .

Матриця A, для якої A' = A^-1, називається ортогональною матрицею.

4. Визначник ортогональної матриці дорівнює .

Дійсно, із AA' = E випливає: |AA'| = |A||A'| = |E| = 1.

Оскільки |A| = |A'| (транспонування не змінює визначника), то:

|A|² = 1 , і .

5. Власні значення ортогонального перетворення дорівнюють .

Дійсно, якщо x- власний вектор і - відповідне йому власне значення ортогонального перетворення A, то:

(x, x) = (Ax, Ax) = (λx, λx) = λ²(x, x),

звідки, оскільки (x, x) ≠ 0, отримуємо , і .

6. Якщо підпростір інваріантний відносно ортогонального перетворення A, то його ортогональне доповнення теж інваріантне відносно A.

Із ортогональності A випливає . Згідно властивості 5 пункту б підпростір інваріантний відносно перетворення . Але тоді (згідно теореми 2, р.8, §2, д) цей підпростір інваріантний і відносно оберненого перетворення, тобто відносно .

Розглянемо, що являє собою довільне ортогональне перетворення.

1. Нехай A - ортогональне перетворення прямої і е. Тоді Aе і, значить, Aе = λе, де , тобто Aе = ±е. Це означає, що A - або тотожнє перетворення,або центральна симетрія.

2. Нехай A - ортогональне перетворення площини, і - його матриця в деякому ортонормованому базисі. Тоді із , тобто , отримаємо:

,

,

.

Для перших двох рівностей знайдуться такі і , що:

, , , .

Тоді третя рівність дає , звідки випливає, що або , тобто або .

В першому випадку

,

і ми отримаємо: , тобто перетворення A - це поворот на кут навколо початку координат.

В другому випадку , і .

Ця матриця – симетрична, значить, ортогональне перетворення A є і самоспряженим, тобто в деякому ортогональному базисі його матриця зводиться до діагонального вигляду: , де .

Визначник цієї матриці повинен бути рівним:

,

значить і мають різні знаки, тобто матриця оператора А зводиться до вигляду .

Це симетрія відносно прямої, яка визначається вектором е₁ (першим вектором нового базису).

Таким чином, ортогональне перетворення площини – це або поворот навколо початку координат на деякий кут (зокрема, тотожнє перетворення або центральна симетрія – визначник цих перетворень дорівнює 1) або осьова симетрія (визначник дорівнює –1).

Читайте також:

1. Адаптивні хвилькові перетворення : Хвилькові пакети.
2. Анатомія параректальних просторів
3. Багатоконтурні лінійні електричні ланцюги
4. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
5. В українському інформаційному просторі аналітична журналістика також повинна відіграти вже зараз видатну роль: збудувати духовну будівлю українського національного світу.
6. Вектори, лінійні операції над векторами
7. Визначення перетворення за Лапласом
8. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
9. Визначте соціальні перетворення в процесі радянізації українського суспільства.
10. Виконаємо лінійне перетворення
11. Вимірювальні сигнали, перетворення вимірювальних сигналів, форми вимірювальної інформації
12. Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.

Переглядів: 1303