• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Формули повної імовірності та Байеса

Теорема 6. Якщо випадкова подія А може з'явитись лише сумісно з однією із несумісних між собою подій В₁, В₂,..., B_n що утворюють повну групу, тоді імовірність події А обчислюється за формулою

(3.12)

Доведення.За умовою теореми поява події A означає появу однієї з подій АВ₁, АВ₂, . . ., АВ_n, тобто

А = АВ₁ U АВ₂ U…U АВ_п,

Події В₁, В₂,…, В_п несумісні, тому й події АВ₁, АВ₂, . . ., АВ_n також несумісні. Згідно з теоремою додавання імовірностей несумісних подій маємо

Р(А) = Р(АВ₁ U АВ₂ U…U АВ_п,) = (3.13)

Події А та B_k - залежні, тому для обчислення P(AB_k) можна використати теорему множення імовірностей залежних подій, тобто

Р(АВ_k) = P(B_k)P_Bk(A). (3.14)

Підставимо (3.14) у формулу (3.13) і одержимо рівність (3.12), яку треба було довести.

Формулу (3.12) називають формулою повної імовірності.

Приклад 10. У першому ящику 20 деталей, з яких 15 стандартних. У другому ящику 10 деталей, з яких 9 стандартних. З другого ящика беруть навмання одну деталь і перекладають її до першого ящика. Знайти імовірність того, що взята після цього навмання деталь з першого ящика стандартна.

Розв’язання. Позначимо такі події: А - з першого ящика взято стандартну деталь; В₁- з другого ящика переклали до першого стандартну деталь; В₂ - з другого ящика переклали до першого нестандартну деталь.

Згідно з умовою задачі, з першого ящика можна взяти деталь лише після того, як здійсниться подія В₁ або подія В₂.

Події В₁ та В₂ несумісні, а подія А може з'явитись лише сумісно з однією із них. Тому для знаходження імовірності події А можна використати формулу повної імовірності (3.12), яка у даному випадку прийме вигляд

Р(А) = Р(В₁)Р_В1(А) + Р(В₂)Р_В2(А). (3.15)

Знайдемо потрібні імовірності

Р(В₁)=9/10; Р(В₂)=1/10; Р_В1(А) = 16/21; Р_В2(А) =15/21.

Підставимо ці значення у формулу (3.15) і одержимо

Р(А) =

Тепер ознайомимось з формулами Байєса.

В умовах теореми 6 невідомо, з якою подією із несумісних подій В₁, В₂,…, В_п з’явиться подія А. Тому кожну з подій В₁, В₂,…, В_п можна вважати гіпотезою. Тоді Р(В_k) – імовірність k-ої гіпотези.

Якщо випробування проведено і в результаті його подія А з'явилась, то умовна імовірність Р_А(В_k) може не дорівнювати Р(В_k). Порівняння імовірностей Р(В_k) та Р_А(В_k) дозволяє переоцінити імовірність гіпотези при умові, що подія А з'явилася.

Для одержання умовної імовірності використовуємо теорему множення імовірностей залежних подій

P(AB_k) = P(B_k)P_Bk(A) = P(A)P_A(B_k) → P_A(B_k) = (3.16)

Підставимо у формулу (3.16) замість Р(А) її значення з формули повної імовірності. Одержимо

P_A(B_k) = л =1, 2,..., n. (3.17)

Формули (3.17) називаютьформулами Байєса.Вони дозволяють переоцінювати імовірності гіпотез. Це важливо при контролі або ревізіях.

Приклад 11.Деталі, виготовлені цехом заводу, попадають для перевірки їх стандартності до одного з двох контролерів. Імовірність того, що деталь попаде до першого контролера, дорівнює 0.6, а до другого - 0.4. Імовірність того, що придатна деталь буде признана стандартною першим контролером, дорівнює 0.94, а другим - 0.98.

Придатна деталь при перевірці признана стандартною. Знайти імовірність того, що деталь перевіряв перший контролер.

Розв’язання. Позначимо такі події: А - придатна деталь признана стандартною; В₁ - деталь перевіряв перший контролер; В₂ - деталь перевіряв другий контролер. За умовою прикладу

Р(В₁) = 0.6; Р(В₂) = 0.4; Р_В1(А) =0,94; Р_В2(А) = 0.98.

За формулою Байєса (4.12) при k = 1 одержимо

P_A(B₁) =

Відмітимо, що до появи події А імовірність Р(В₁)=0,6, а після появи події А імовірність перевірки деталі першим контролером P_A(B₁) = 0.59 поменшала.

Приклад 12. Імовірність знищення літака з одного пострілу для першої гармати дорівнює 0.2, а для другої гармати - 0.1. Кожна гармата робить по одному пострілу, причому було одне влучення у літак. Яка імовірність того, що влучила перша гармата?

Розв’язання.Позначимо такі події: А - знищення літака з одного пострілу першою гарматою; В - знищення літака з одного пострілу другою гарматою; С - одне влучення у літак. Маємо чотири гіпотези

H₁ =A•B; H₂ =A•; H₃ =•B; H₄ =•

які утворюють повну групу подій. Імовірностями цих гіпотез будуть

Р(H₁) = 0.2 • 0.1 = 0.02; Р(H₂) = 0.2 • 0.9 = 0.18;

Р(H₃) = 0.8 • 0, 1 = 0.08; Р(H₄) = 0.8 - 0.9 = 0.72.

Так як сума H₁ + H₂ + H₃ + H₄ є достовірна подія, то

P(H₁) + P(H₂ )+ P(H₃) + P(H₄) =1.

Умовні імовірності події С будуть

P_H1(С) = 0; P_H2(С) = 1; P_H3(С) = 1; P_H4(С) = 0.

Тепер за формулою Байєса знаходимо шукану ймовірність

P_С(H₂) =

Читайте також:

1. Акціонерні товариства випускають облігації на суму не більше 25 % від розміру статутного капіталу і лише після повної оплати всіх випущених акцій.
2. Безпосереднє обчислення з використанням формули Ньютона-Лейбніца.
3. Введення формули в комірку.
4. Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.
5. Визначення імовірності партії вантажу, для перевезення якої необхідним є автомобіль відповідної вантажопідйомності.
6. Вітальні формули
7. Деякі поняття теорії імовірності
8. Електронні формули
9. За повної зайнятості безробіття існує, але воно є природним.
10. Загальні хімічні формули
11. Із формули (5.4) випливає, що амплітуда результуючого коливання визначається не тільки амплітудами коливань, що додаються, а й змінюється залежно від різниці їхніх початкових фаз.
12. Ймовірність гіпотез. Формули Байєса

Переглядів: 2152