• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Методика обчислень за правилом складних відсотків

СКЛАДНІ ВІДСОТКИ

ТЕМА 3

Коли у фінансовому аналізі враховують фактор часу (ефект дисконтування), завжди є два варіанти обчислень, які при­зводять до різних кінцевих результатів — це правило простих та правило складних процентів.

На користь вибору кожного з цих варіантів існують об'єктивні передумови, тому жодним з них не можна знехтувати та не роз­глядати взагалі. Правило простих процентів є простішим з погляду математичних розрахунків, а правило складних процентів — реалістичнішим в аспекті опису прикладних економічних задач.

Розглянувши в попередній темі правило простих процентів, перейдемо до опису правила складних процентів. Причому, ви­кладаючи цей матеріал, необхідно звертатися до поперед­нього матеріалу, оскільки для кращого висвітлення відмінностей обидві методики зручно розглядати у порівнянні.

Практика сучасних економічних відносин свідчить, що серед існуючих методик нарахування коштів саме обчислення за пра­вилом складних процентів є основою переважної більшості фі­нансових операцій.

Правило складних процентів (compound interest) зазвичай засто­совують у середньо- та довгострокових фінансових угодах (строк більший від одного року), та у випадках, коли процен­ти не виплачують відразу після їх нарахування, а додають до ос­новної суми боргу. Іншими словами, цей метод передбачає реінвестування коштів та капіталізацію процентів.

Сутність методу нарахування за складними процентами поля­гає в тому, що наприкінці кожного періоду до основної суми грошей додають нараховані проценти й отримана таким чином сума грошей є вихідною для нарахування процентів у наступно­му періоді.

Отже, у разі нарощування за складними процентами база для нарахування в кожному наступному періоді змінюється, оскільки кожна наступна сума зростає ще й на частку від попередньої.

Тож, згідно з уведеними раніше позначеннями, кінцева сума, яку одержить інвестор наприкінці періоду нарахування за прави­лом складних процентів, дорівнюватиме:

— після першого періоду нарощування => t=1:FV₁=PV*(1+r);

—після другого => t=2:FV₂ = PV*(1+r)+PV*(1+r)r=PV*(1+r)² ;

— після п періодів => t= п: FV _n =PV*(1+r)^п.

Отже, в загальному вигляді, формулу нарощування за склад­ними процентами (декурсивний метод нарахування) записують так:

(3.1)

Величину (1+r)ⁿ називають множником нарощування склад­них процентів.

У формулі (3.1) для коректних обчислень за методом складних процентів величини r та п мають бути взаємоузгоджені (зведені до одних величин часу - років, місяців, днів тощо).

Розглянемо методику нарощування коштів за правилом склад­них процентів на прикладі.

Приклад 3.1.

Знайти майбутню вартість коштів за правилом складних процентів. Маємо: теперішня вартість РV= 1000 грн., ставка дохідності r— 10 %.

Тоді за правилом складних процентів (формула (3.1)) майбут­ня величина відомої теперішньої суми дорівнюватиме:

— FV(1000) = 1100 грн., якщо п = 1;

— FV(1000) = 1210 грн., якщо п = 2;

— FV(1000) =1331 грн., якщо п = 3 і т. д.

Неважко зрозуміти, що послідовність нарощених за правилом складних процентів сум становлять геометричну прогресію.

Порівнюючи результати обчислень за простими процентами (приклад 2.1) та за складними процентами (приклад 3.1), ба­чимо, що за однакових висхідних умов, ідентичний результат до­сягається лише після одиничного періоду, а потім нарощування за складними процентами дає більшу кінцеву величину. Причо­му, чим більша кількість періодів нарощування, тим більша різ­ниця у результатах розрахунків за цими двома методиками.

У цьому прикладі для отримання ідентичних результатів за правилом простих процентів доведеться кожен раз збільшувати базу для нарощування.

Узагальнюючи результати прикладів 2.1 та 3.1, можна зробити важливий висновок:

Нарахування складних процентів рівнозначне нарахуванню прос­тих процентів з реінвестуванням коштів наприкінці кожного пе­ріоду.

Наприклад, у вкладника банку є депозитний та поточний ра­хунки, а умовами депозитного договору передбачено виплату простих відсотків за вкладом щомісяця, шляхом перерахування їх на поточний рахунок. Якщо вкладник не витрачатиме ці кошти на поточному рахунку, а поповнюватиме ними депозит, то на­прикінці року він отримає таку суму, ніби нарахування відбува­лося за складними процентами.

Коли відома кінцева (майбутня) вартість, за правилом склад­них процентів можна обчислити приведену (теперішню) вартість, виконавши операцію дисконтування за формулою:

(3.2)

Величину (1+r)^-n називають множником дисконтування склад­них процентів.

У практиці фінансових обчислень за відомої початкової суми часто виникає питання оцінювання не кінцевої суми, а абсолют­ної різниці між кінцевою та початковою сумами — нарощеної величини. Наприклад, у задачах оцінювання ефективності інвес­тицій, цю нарощену величину можна трактувати як абсолютний прибуток від інвестування. За використання правила складних процентів цю нарощену величину називають розміром складного проценту ІС та розраховують таким чином:

(3.2^/)

Остаточно маємо:

(3.3)

Зазначимо, що за однакових вихідних умов, коли кількість пе­ріодів п>1, величина складного проценту ІС перевищуватиме величину простого проценту IS.

Приклад 3.2.

Нехай теперішня вартість PV = 1000 грн., кількість періодів нарощування п = 3, ставка дохідності r= 10 %. Розрахуємо роз­міри простого та складного процентів.

Величина простого проценту за формулою (2.2) дорівнюватиме:

Відповідно, величина складного проценту за формулою (3.3) дорівнюватиме:

Отже, розмір складного проценту перевищує розмір простого проценту на 31 грн.

При збільшенні кількості періодів різ­ниця у нарощених сумах, отриманих за складними та простими процентами, буде зростати.

Розмір складного проценту перевищує розмір простого про­центу за рахунок того, що за методикою складних процентів на­прикінці кожного періоду відбувається реінвестування коштів. До того ж величина, на яку розмір складного проценту переви­щує розмір простого проценту, отримана шляхом нарахування процентів на проценти. Таке нарахування називають капіталіза­цією процентів.

Для того, щоб визначити розмір капіталізації процентів ІС_Р за­стосуємо вирази (2.2) та (3.3). Тоді, згідно введених раніше по­значень:

(3.3^/)

Зазначимо, що коли п= 1, то ІС_Р = 0 та ІС = IS. Отже, капіталі­зація процентів можлива лише, коли кількість періодів нарощування більша за один.

Зауважимо, що формули складних процентів (рівняння (3.1) або (3.2) пов'язують функціональною залежністю 4 параметри (майбутня та теперішня вартість, період часу та ставка дохіднос­ті). Отже, знаючи будь-які три з них, завжди можна знайти четвер­гу, невідому величину.

Розглядаючи правило простих процентів, ми оцінювали норму дохідності фінансової операції за відомих початкової та кінцевої вар­тості, а також строку угоди (рівняння (2.25)). Тепер аналогічно оціни­мо норму дохідності за використання правила складних процентів.

Розв'язання у загальному вигляді рівняння (3.1) відносно ста­вки дохідності r дає такий результат:

(3.4)

Розглянувши операції нарощення та дисконтування коштів, розглянемо також як здійснюють операцію утримання коштів за правилом складних процентів.

Операцію утримання складних процентів застосовують, зок­рема, у фінансових обчисленнях щодо деяких видів боргових зо­бов'язань зі строком погашення, більшим за один рік.

Теперішню вартість, яку із застосуванням складної ставки дисконтування r обчислюють за формулою (3.2), використовуючи складну облікову ставку d можна знайти так:

(3.5)

Зазначимо, що вираз (3.5) має економічний сенс лише коли складна облікова ставка d є меншою за 100 %.

Величину (1-d)ⁿ називають множником утримання складних процентів.

Розв'язавши рівняння (3.5) відносно складної облікової ставки d, отримаємо вираз для оцінювання дохідності операції утриман­ня складних процентів:

(3.6)

Зазначимо, що серед усіх розглянутих ставок дохідності, саме обчислення складної облікової ставки дасть найнижчий результат.

З виразів (3.2) та (3.6) можна знайти наступне співвідношення між складною ставкою дисконтування r та складною обліковою ставкою d:

(3.7)

Виходячи з цього, застосування складної облі­кової ставки при строках, що не дорівнюють одиничному періоду часу, є не зовсім коректним.

Надалі, розглядаючи правило складних процентів, працюва­тимемо насамперед зі загальноприйнятою ставкою дохідності r.

Читайте також:

1. Апаратура і методика проведення густинного гамма-гамма-каротажу
2. Апаратура і методика проведення густинного гамма-гамма-каротажу
3. Апаратура та методика проведення газометрії свердловин в процесі буріння
4. Види вправ з лексики й методика їх проведення
5. Види та жанри образотворчого мистецтва, методика ознайомлення з ними у початковій школі.
6. Втрата непараметричними критеріями згоди „свободи від розподілу” при складних гіпотезах
7. Геофізичний контроль за розробкою нафтових і газових родовищ. Задачі. Методи і методика дослідження
8. Гідродинамічні аварії. Методика оцінки інженерного cтану при них і заходи захисту населення та території
9. Джерела похибок обчислень
10. Диференціювання складних функцій
11. Доходи підприємства та методика їх обчислення
12. Еквівалентність множників нарощування простих та складних процентів

Переглядів: 858