Тема 19. Поняття про диференціальні рівняння, рівняння з відокремлюваними змінними

Розділ 7. Звичайні диференціальні рівняння

Мета. Розглянути поняття диференціального рівняння, означити основні поняття та характеристики. Навчитись розв’язувати найпростіші лінійні дифрівняння та рівняння з відокремлюваними змінними.

План.

1. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Поняття диференціального рівняння.

2. Диференціальні рівняння першого порядку. Поняття про задачу Коші.

3. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

1. Вивчаючи явища природи, розв”язуючи різноманітні задачі з фізики, техніки, біології, економіки, не завжди можна безпосередньо встановити прямий зв”язок між величинами, що описують той чи інший еволюційний процес. Здебільшого можна встановити зв”язок між цими величинами (функціями) та швидкостями їхньої зміни відносно інших (незалежних) змінних величин. При цьому виникають рівняння, в яких невідомі функції містяться під знаком похідної. Ці рівняння називаються диференціальними.

Прикладом найпростішого диференціального рівняння є рівняння

де f(x) – відома, а у=у(х) – шукана функція незалежної змінної х. Розв’язки цього рівняння називають первісними функціями для функції f(x).

Наприклад, розв”язками диференціального рівняння

є функції

де С – довільна стала, причому інших розв”язків це рівняння не має.

Мати безліч розв’язків – характерна властивість диференціальних рівнянь. У цьому розумінні наведений приклад типовий. Тому, розв”язавши диференціальне рівняння, яке описує перебіг певного процесу, не можна одночасно знайти залежність між величинами, що характеризують цей процес. Щоб вибрати з нескінченної множини залежностей ту одну, яка притаманна саме цьому процесу, треба мати додаткову інформацію, наприклад знати початковий стан процесу. Без цієї додаткової умови задача недовизначена.

Розглянемо задачу, що приводить до диференціальних рівнянь.

Задача 1. У сприятливих для розмноження умовах перебуває певна кількість бактерій. Через який час кількість бактерій подвоється?

Розв’язання. Нехай у початковий момент було m₀ бактерій. Позначимо через m (t) кількість бактерій у момент часу t (m(0)=m₀). Із експерименту відомо, що швидкість розмноження бактерій за сприятливих умов пропорційна їхній кількості. Цей біологічний експериментальний закон дає змогу написати диференціальне рівняння розмноження бактерій:

m^/ (t) = km (t), k>0. (1)

Коефіцієнт пропорційності k залежить від виду бактерій та умов, в яких вони перебувають. Його можна визначити експериментально.

Вихідна задача звелась до чисто математичної задачі: знайти розв”язок m=m (t) рівняння (1), для якого m (0)=m₀, і з рівняння m (t)=2m₀ визначити час подвоєння початкової кількості бактерій.

Оскільки m (t)>0, то поділивши обидві частини рівняння (1) на m (t), дістанемо

(ln m (t))^/=k

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Контрольні запитання	\|	Контрольні запитання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.