Векторні простори із скалярним добутком

, , .

Розв’язуючи цю систему будь-яким способом, знайдемо

3) Отже,.

Відповідь:

До цього часу ми розглядали властивості векторного простору, зв’язані тільки з двома операціями: додаванням векторів і множенням їх на числа. Розглянемо ще одну операцію.

Означення. Кажуть, що в векторному просторі визначена операція скалярного добутку векторів, якщо кожній парі векторів ставиться у відповідність число так, що виконані наступні умови (аксіоми скалярного множення):

1) ;

2) ;

3) ;

4) , .

Приклади векторних просторів із скалярним добутком.

1) У векторному просторі геометричних векторів операцію скалярного добутку визначимо формулою: длята

Відомо, що так визначена операція скалярного добутку задовольняє умовам 1)-4), тобто є скалярним множенням у розумінні даного означення.

2) В арифметичному числовому векторному просторі скалярний добуток визначимо формулою: длята

Легко перевірити, що аксіоми 1)–4) будуть виконані.

3) У векторному просторі функцій, неперервних на інтервалі визначимо скалярне множення векторів і формулою

З відомих властивостей визначеного інтеграла випливає, що так визначене скалярне множення задовольняє умовам 1)-4).

Означення. Евклідовим простором називається дійсний векторний простір із скалярним добутком.

Приклади.

1) Дійсний векторний простір геометричних векторів із звичайним скалярним множенням є евклідовим.

2) Арифметичний числовий векторний простір із скалярним добутком, визначеним формулою: длята

є евклідовим.

3) Векторний простір функцій, неперервних на інтервалі скалярним добутком векторів і , визначеним формулою

є евклідовим.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Розкладання вектора за базисом	\|	Підпростори векторного простору

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.