МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Необхідні умови існування сідлової точкиТаблиця 7.1
Необхідно знайти оптимальні площі посіву озимої пшениці та цукрових буряків. Нехай: х1 – площа ріллі під озимою пшеницею, сотні га; х2 – площа ріллі під цукровими буряками, сотні га. Звернемо увагу на те, що собівартість тонни пшениці та цукрових буряків залежить від відповідної площі посіву. Запишемо економіко-математичну модель цієї задачі. Критерієм оптимальності візьмемо максимізацію чистого доходу:
за умов:
Запишемо функцію Лагранжа:
Візьмемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:
З цієї системи рівнянь визначаємо координати сідлових точок. З першого та другого рівняння знаходимо l1 і, прирівнюючи вирази, маємо: (7.10) або, скоротивши на 100 обидві частини і розкривши дужки, отримаємо: . (7.11) Із останнього рівняння системи маємо: . Підставимо вираз для у рівність (7.11). Отримаємо:
або
Отже, ;
. (553 га); (178 га). Відповідно дістаємо: га); га). Тобто отримали дві сідлові точки:
Перевіримо за допомогою достатньої умови існування екстремуму спочатку сідлову точку . Матриця Гессе має такий вигляд: . За вищезазначеним правилом визначаємо головні мінори, починаючи з 2-го порядку ( ): , . Отже, головні мінори утворюють знакозмінний ряд та, починаючи з головного мінору 2-го порядку, наступний мінор визначається знаком , тобто є точкою максимуму. Обчислимо значення цільової функції в цій точці:
Аналогічні обчислення для точки показують, що вона не є екстремальною. Отже, цільова функція набуде максимального значення, якщо озима пшениця вирощуватиметься на площі 647 га, а цукрові буряки – на площі 553 га. Метод множників Лагранжа може застосовуватися також у разі наявності обмежень на знаки змінних і обмежень-нерівностей. Розглянемо таку задачу в загальному вигляді: ,
причому всі функції, що входять у задачу, мають бути диференційовними хоча б один раз. Очевидно, що введення в ліві частини нерівностей системи обмежень задачі додаткових невід’ємних змінних перетворює початкову задачу в таку, що містить лише обмеження-рівності, тобто яка за формою та методом розв’язування збігатиметься з задачею (7.6)-(7.7). Для розроблення методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування важливе значення має поняття сідлової точки, а також визначення необхідних і достатніх умов існування сідлових точок функції Лагранжа у (n+m)-вимірному просторі змінних за довільних умов, які можуть накладатися на їх знаки (необхідні і достатні умови існування сідлової точки функції Лагранжа за відсутності обмежень на знаки змінних розглянуто в п.7.4). Розглянемо нелінійну задачу: , . Причому на компоненти векторів накладено обмеження на знаки. Позначимо множину точок, що задовольняють такі обмеження, через . Функція Лагранжа для цієї задачі має вигляд: = . (7.12) Точка називається сідловою точкою функції Лагранжа (7.12), якщо для всіх виконується співвідношення: . (7.13) Для диференційовних функцій та знайдемо необхідні умови існування сідлової точки. Сідлова точка функції виду (7.12) за означенням задовольняє умову: . Нерівність виконується для всіх точок Х, тобто також і для тих, у яких лише одна координата відрізняється від Х*. Допустимо, що це хk, а всі інші збігаються з координатами сідлової точки . Оскільки права частина нерівності є фіксованою, а в лівій частині змінюється лише одна координата хk, то приходимо до функції однієї змінної , яку можна зобразити графічно на координатній площині. Розглянемо спочатку випадок, коли , тобто лише частину координатної площини, для якої . Можливі такі випадки: 1) коли всі , то максимальне значення функції L(xk) досягатиметься в точці, для якої (рис.7.5).
Рисунок 7.5 2) коли максимум функції L(xk) досягатиметься в точці і розглядувана частинна похідна також дорівнюватиме нулю: (рис.7.6).
Рисунок 7.6 3) коли точка максимуму функції L(xk) досягатиметься також у точці
Рисунок 7.7 Узагальнюючи всі три ситуації, маємо: для та . Розглядаючи другу частину нерівності (7.13):
аналогічними міркуваннями, що проілюстровані рис.7.8-7.9, встановлюються необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці.
Рисунок 7.8 Рисунок 7.9 Об’єднуючи всі три випадки для невід’ємних координат, маємо необхідні умови сідлової точки: для тих індексів j, де . (7.14) Зауважимо, що для маємо ті самі випадки, які зображено на рис.7.5-7.9, причому графіки будуть симетрично відображені відносно осі Оy, тобто для недодатних координат необхідна умова має вигляд: для тих індексів j, де . (7.15) І нарешті, як відомо з попереднього параграфа, якщо на знак хj умови не накладаються, то необхідною умовою є: , – довільного знака. (7.16) Узагальнення всіх випадків приводить до рівняння: . (7.17) Розглядаючи другу частину нерівності (7.13), за допомогою аналогічних міркувань встановлюємо необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці: для тих індексів і, де , (7.18) для тих індексів і, де , (7.19) для тих індексів і, де має довільний знак. (7.20) Отже, справджується рівняння: . (7.21) Сукупність співвідношень (7.14)-(7.21) становить необхідні умови, які має задовольняти сідлова точка функції Лагранжа для точок, що належать множині . При цьому повинна мати частинні похідні по всіх компонентах векторів . Читайте також:
|
||||||||
|