Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Приклад 6.6.

Нехай

Тоді ділення на виконується наступним чином:

Тут ми скористались тим, що в полі , та . Отже, часткою від ділення на є поліном, а остачею – поліном нульового степеню

Результат ділення з остачею ми будемо записувати так: ; для наведеного прикладу 6.6. запис буде мати вигляд

Остачу від ділення на ми позначатимемо (зауважимо, що при ).

Отже, для будь-яких існують такі що де або Також зазначимо, що, згідно зауваження 6.4, при Тому, згідно означенню 5.1, кільце поліномів над полем є евклідовим з “нормою” Тоді, за теоремою 5.27, – факторіальне кільце.

Означення 6.7: прості елементи кільця будемо називати незвідними поліномами.

Сформулюємо ще одне означення, еквівалентне означенню 6.7.

Поліномом , називається незвідним, якщо виконується наступна умова: якщо для деяких та виконується рівність , то або , або

Зазначимо, що оборотними елементами кільця будуть всі елементи з і тільки вони. Тому для будь-якого поліному його дільниками завжди будуть всі елементи з , а також поліноми вигляду , де . Такі дільники ми будемо називати тривіальними. Всі інші дільники будемо називати нетривіальними, або власними.

Тому означення незвідного поліному можна ще переформулювати так: поліном є незвідним, якщо він не має нетривіальних дільників.

Нагадаємо (твердження 5.25), що евклідове кільце завжди є кільцем головних ідеалів. Тому, згідно п.4 теореми 4.18, факторкільце є полем тоді і лише тоді, коли поліном є незвідним.

При подальшому вивченні теорії скінчених полів ми будемо весь час використовувати факторкільце вигляду , де , тому розглянемо структуру такого факторкільця більш детально.

Нагадаємо, що при визначенні факторкільця (озн. 3.28) ми встановили, що операції на класах лишків визначенні коректно, а саме: якщо – ідеал кільця , причому , , то ; . Тобто операції на класах лишків не залежать від того, як саме ці класи лишків представлені. Тому кожен клас лишків у кільці ми можемо замінити на деякий елемент цього класу, який називається його представником; при цьому встановиться взаємно-однозначна відповідність між класами лишків та їх представниками, множина яких називається системою представників. Після цього всі обчислення у факторкільці можна замінити еквівалентними обчисленнями у системі представників. Нехай, наприклад, , – деякий ідеал кільця , причому

, (6.5)

для деяких . Оберемо представників: . Тоді замість рівностей (6.5) будемо записувати: .

Нехай . Зауважимо, що кожен клас лишків факторкільця містить єдиний поліном, степінь якого менша за (оскільки для будь-яких двох поліномів з одного класу лишків їх різниця ділиться на ). Тому при побудові факторкільця стандартною є така система представників: з кожного класу обирається поліном, степінь якого менша за (це буде поліном найменшого степеню у даному класі лишків). Добуток двох представників (відносно множення у кільці ), взагалі кажучи, не належить системі представників ( його степінь може бути більшою за ). Тому, щоб знайти значення добутку представників та у кільці , потрібно спочатку перемножити їх як елементи кільця , отримавши деякий поліном , а потім знайти відповідного представника, як поліном найменшого степеню у тому класі лишків, що містить поліном ; він буде мати вигляд .

Приклад 6.8:нехай .

Побудуємо факторкільце . Порядок даного кільця дорівнює кількості поліномів над , степені яких менші за 3. Дійсно, кожен клас лишків вигляду містить єдиний поліном степеню, меншого за 3: це поліном . І навпаки, кожному поліному , де , ставиться у відповідність клас лишків . Тому систему представників будуть утворювати всі поліноми вигляду , де , тобто факторкільце складається з 27-ми елементів. Як було зазначено, операція множення представників виконується за модулем полінома :

Приклад 6.9: побудувати факторкільце , де , та скласти таблиці Келі додавання та множення його елементів.

Розв’язок : кільце , записане як система представників , складається з усіх лишків від ділення на поліном , тобто з усіх поліномів над , степені яких менші за 3: .

Таблиця Келі додавання:

+			x	x+1	x²	x²+1	x²+x	x²+x+1
			x	x+1	x²	x²+1	x²+x	x²+x+1
			x+1	x	x²+1	x²	X²+x+1	x²+x
x	x	x+1			x²+x	x²+x+1	x²	x²+1
x+1	x+1	x			x²+x+1	x²+x	x²+1	x²
x²	x²	x²+1	x²+x	x²+x+1			x	x+1
x²+1	x²+1	X²	x²+x+1	x²+x			x+1	x
x²+x	x²+x	x²+x+1	x²	x²+1	x	x+1
x²+x+1	x²+x+1	x²+x	x²+1	x²	x+1	x

Таблиця Келі множення:

		x	x+1	x²	x²+1	x²+x	x²+x+1
		x	x+1	x²	x²+1	x²+x	x²+x+1
x	x	x²	x²+x	x+1		x²+x+1	x²+1
x+1	x+1	x²+x	x²+1	x²+x+1	x²		x
x²	x²	X+1	x²+x+1	X²+x	x	x²+1	x+1
x²+1	x²+1		x²	x	x²+x+1	x+1	x²+x
x²+x	x²+x	x²+x+1		X²+1	x+1	x	x²
x²+x+1	x²+x+1	x²+1	x	x+1	x²+x	x²

Зауваження 6.10: факторкільце , де – просте, , , містить елементів; це поліноми вигляду , де .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Кільце поліномів та його властивості.	\|	Корені поліномів та їх властивості.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.