• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Математичні моделі об’єктів

Лекція №6

Попередньо показано, що об’єктом ідентифікації є все те, що пізнається внаслідок аналізу інформації, яку отримують у процесі оброблення даних. Дані отримують у процесі вимірювання змінних на деякому кінцевому інтервалі спостереження, а також у процесі обчислення відомих функцій, які задають аналітично або алгоритмічно. При ідентифікації отримують інформацію у найбільш стислому вигляді. Цього досягають внаслідок побудови математичних моделей. При цьому будують моделі двох типів.

Перший тип – це математичні моделі, які детально описують внутрішні і зовнішні процеси у об’єкті. Такі моделі опосередковано імітують об’єкт, тому їх називають імітаційними.

Другий тип – це математичні моделі, які ґрунтуються на взаємозв’язку виміряних або обчислених змінних. Такі моделі дозволяють отримати передбачуване значення виходів об’єкта із заданою точністю. Математичні моделі відрізняються, як правило, простотою опису, порівняно з імітаційними моделями.

Надалі будемо розглядати тільки математичні моделі другого типу. Цей тип математичних моделей будують виходячи з таких міркувань.

Вихідний сигнал досліджуваного лінійного об’єкта y₀(t) можна подати у вигляді суми двох складових – вільної і вимушеної: y_віл(t) і y_вим(t), тобто:

y₀(t) = y_віл(t) + y_вим(t).

Вільна складова характеризує перехідний процес, а отже, і вагову функцію K(t), яку можна записати як реакцію досліджуваного об’єкта на вхідний сигнал типу дельта-функції σ(τ), тобто:

K(t)= y_віл (σ(τ),t),

де:

τ – час, якийвизначає момент прикладання вхідного сигналу дельта-функції σ(τ) до входу досліджуваного об’єкта.

Вагова функція K(t) є розв’язком відповідного диференціального або інтегрального рівняння, яку можуть задавати у неперервній або дискретній формі. Тому математична модель вільної складової може мати різні форми запису, які відрізняються як структурою, так і параметрами. Вибір математичної моделі залежить від поставленої дослідником задачі і його індивідуальних особливостей.

Вимушена складова y_вим(t) є реакцією досліджуваного об’єкта у встановленому режимі, тобто у такому режимі, коли перехідний процес закінчено, а зміна вихідного сигналу відбувається лише під дією вхідного сигналу. При дослідженні процесу функціонування об’єкта вимушену складову записують як функцію часу:

y_вим(t)=P_Mu_вх(t).

У цьому випадку функція часу характеризує процес відслідковування об’єктом вхідного сигналу u_вх(t) конкретної форми. Зокрема:

- якщо u_вх(t)=С = const, а досліджуваний об’єкт лінійний, тоді y_вим(t)= C₁.

- якщо u_вх(t)=asinωt, тоді y_вим(t)=Аsіп(ωt+φ) і т.д.

Для нелінійних об’єктів вказаний процес є дещо складнішим. Розділити вихідний сигнал на вільну і вимушену складову не завжди можливо, тому розглядають ці системи разом. При цьому часто зустрічаються об’єкти, коли вільною складовою можна знехтувати. Тоді розглядають тільки вимушену складову.

Аналіз характеристик “вхід-вихід” у параметричному вигляді, тобто аналіз залежностей y_вим(t)=F(u_вх), також не потребує розділення вихідного сигналу на складові. У цьому випадку будують математичну модель не для вхідного сигналу конкретної форми, а залежно від амплітуди вихідного сигналу. Очевидно, що крім амплітуди велике значення мають швидкість, прискорення та інші характеристики вхідного сигналу. Наявність практичних вимог до опису структури і параметрів об’єктів зумовлює появу широкого спектру класів моделей. Розглянемо конкретніше математичні моделі, які застосовують на практиці.

Лінійні динамічні моделі. Ці моделі мають вигляд лінійних диференціальних рівнянь:

(1)

де:

{b_m-1t),b_m-2(t),...,b₀(t),a_n(t),...,a₀(t)} – вектор невідомих параметрів моделі;

{m,n} – вектор невідомих параметрів структури;

τ – запізнення.

На практиці часто справедливе припущення, що параметри a_i(t) i b_i(t) під час розв’язування задачі оцінювання приймають постійними. Тоді лінійні диференціальні рівняння спрощуються і приймають вигляд:

(2)

Якщо у рівнянні (2) початкові умови нульові, тоді застосовуючи до нього перетворення Лапласа, визначаємо передавальну функцію системи:

(3)

Широке застосування на практиці має модель, яка задається у вигляді інтеграла згортки :

(4)

де:

К(τ) – вагова функція;

у(t₀) – початкова умова.

Особливість рівняння полягає у тому, що його застосовують для лінійних систем як із змінними параметрами, так і з постійними. Крім того, це рівняння є справедливим і для лінійних систем з розподіленими і нерозподіленими параметрами.

Будь-яку систему з математичної точки зору можна представити у вигляді оператора, за допомогою якого вхідний сигнал u(t) перетворюється у вихідний сигнал у(t). Цю залежність можна описати у вигляді:

y(τ) = A{ u(t)},

де:

A{,} – оператор .

Оператор A{,} може залежати від часу. Якщо оператор A{,} не залежить від часу, тоді стверджують, що система не залежить від часу (необхідно відрізняти від вихідного сигналу системи у(τ)). Для лінійних систем, незалежних від часу, вихідний сигнал записують у вигляді:

Модель, яка характеризує динаміку лінійної системи, можна записати у вигляді системи диференціальних рівнянь першого порядку:

y(t) = c₁x₁ + c₂x₂ +...+ c_nx_n +du, (6)

де:

a_ij, b_i, c_j – параметри моделі.

Рівняння (5) називають рівнянням стану, а рівняння (6) – рівнянням вимірювань. Систему (5) і (6) зручно записати у математичному вигляді:

X(t) = AX(t) + Bu(t); (7)

y(t) = CX(t) + Du(t) (8)

Перехід від моделі (7) і (8) до моделі (3) здійснюють таким чином.

Припустимо, що Х(0) = 0. Застосовуючи перетворення Лапласа до рівняння (8) і враховуючи нульові початкові умови, отримаємо:

X(s) = AX(s) + Bu(s).

Групуючи подібні члени, знаходимо значення Х(s) у вигляді:

Х(s) = [sE - A]^-1 Bu(s),

де:

Е – одинична матриця.

Застосовуючи перетворення Лапласа до рівняння (1.21) після підстановки у нього значення Х(s), отримаємо значення вимірюваного сигналу:

У(s) = [ С[sЕ – А]^-1 В + D]u(s).

Отже, передавальну функцію W(s) можна записати у вигляді:

W(s) = С[sЕ – А]^-1 В + D.

Характерним для лінійних рівнянь є справедливість принципу суперпозиції, який, у більшості випадків, використовують при дослідженні об’єкта. Принцип суперпозиції використовують, аналізуючи реакцію об’єкта на окремі вхідні сигнали, що особливо важливо при вивченні складних систем.

Виходячи з того, що змінні u(t) і у(t) є випадковими функціями у результаті накладення завад або похибок обчислень, і взаємозв’язок між змінними визначають за усередненими значеннями, тому такі рівняння будемо називати рівняннями регресії. Розрізняють лінійні і нелінійні, динамічні і статичні рівняння регресії.

Лінійна статична регресія – це регресія, яка має вигляд:

(9)

де:

ξ(n) – завада, виміряна у n-й момент часу.

Лінійна динамічна регресія – це залежність, яка має вигляд:

(10)

У регресивному аналізі розрізняють авторегресивні моделі, які мають вигляд:

(11)

З рівняння (1.24) видно, що на вході авторегресивних моделей присутній тільки сигнал завади.

Нелінійні моделі. Широке розповсюдження отримали математичні моделі у вигляді функціональних рядів. Це зумовлено тим, що для будь-якої неперервної на обмеженому інтервалі функції при заданій точності можна знайти алгебраїчний поліном, який буде апроксимувати цю функцію з заданою точністю .

Статичні нелінійні моделі. Розрізняють функціональні ряди однієї і багатьох змінних. Поліном однієї змінної можна описати у вигляді:

y(x) = a₀ + a₁u + a₂u² +...+ a_nuⁿ, (12)

а поліном багатьох змінних має вигляд:

(13)

Загальний вигляд моделі, заданої функціональним рядом, можна зобразити таким чином:

,

де:

u={u₁,u₂,...,u_n}; f_i(n) – функції багатьох аргументів.

Модель у вигляді тригонометричного полінома описується двома виразами:

- тригонометричним поліном з кратними частотами:

(14)

- тригонометричним поліном з некратними частотами:

(15)

Ряд Тейлора. Якщо значення функції F(x) і ряд її похідних можуть бути обчислені у точці х=а, тоді функція F(х) є поліномом n-го степеня, який має вигляд:

.

Інтерполяційна формула Лагранжа. Якщо можна обчислити значення функції F(х) у (n+1)-ій точці, тоді для наближеного обчислення функції F(х) у проміжних точках будують поліном n-го порядку:

F(x) = A₀ + A₁(x) +...+ A_nxⁿ = f(x). (15.1)

Значення функції F(х) і полінома у точках а₁,...,a_n+1 співпадають, тобто:

F(a₁) = f(a₁), F(a₂) = f(a₂),...., F(a_n+1) = f(a_n+1).

Поліном F(х) можна записати у дещо іншій формі:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Такий поліном будемо називати інтерполяційним багаточленом Лагранжа.

Читайте також:

1. Автокореляція залишків – це залежність між послідовними значеннями стохастичної складової моделі.
2. Автоматичне і ручне створення об’єктів.
3. Адміністративний захист об’єктів інтелектуальної власності від недобросовісної конкуренції
4. Адміністративно-правовий захист об’єктів інтелектуальної власності
5. Аналіз економічноїї політики за допомогою моделі Мандела-Флемінга. Випадки вільного та фіксованого валютного курсів.
6. Аналітичний підбір математичної моделі.
7. Багатоаспектне класифікування об’єктів винаходу
8. Бізнес-моделювання в системі управління розвитком підприємства. Поняття та етапи формування бізнес-моделі
9. Вбудовування об’єктів
10. Введення в дію об’єктів інвестування.
11. Вибір підходу до процесу соціальної роботи зале­жить від теоретичної моделі, якої дотримуються соці­альні працівники, обраної стратегії втручання і методу соціальної роботи.
12. Види світогляду: міфологічний, релігійний та філософський (натуралістична, об’єктивно-ідеалістична, субєктивно-ідеалістичні і матеріалістичні моделі).

Переглядів: 968