МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Локальна та інтегральна теореми Муавра - Лапласа. Формула ПуассонаНа практиці досить часто використовують схему однакових незалежних випробувань, в кожному з яких повна подія А настає з однією і тією ймовірністю. При цьому знаходять ймовірність того , що в n випробуваннях подія А настає k разів ( 0 ≤ k ≤ n ) . Розглянемо подію В1 , в якій перші k разів подія А настала, а потім в n – k випробуваннях не настала, тобто В1 = Ураховуючи незалежність подій, маємо Р (В1) = pk q n-k (q = 1 – p ). Кількість варіантів, в яких А настає k разів, а не настає n –k разів, становить . На основі теореми додавання ймовірностей маємо формулу Бернуллі
Приклад У цеху п’ять верстатів. Ймовірність того, що кожен з них працює, p=0,8. Знайти ймовірність того, що з них працює k =0, 1, 2, 3 , 4, 5 верстатів. Розв’язування. Згідно з формулою Бернуллі Р5 (0) = ; Р5 (1) = ; Р5 (2) = ; Р5 (3) = ; Р5 (4) = ; Р5 (5) = ; Перевіримо, (похибка внаслідок округлення результатів), оскільки події утворюють повну групу.
З цього прикладу випливає, що існує таке k = k0, якому відповідає найбільша ймовірність. Таке значення k0 називають найімовірнішим числом появи події А . Можна довести, що np – q ≤ k0 ≤ np + р Схему Бернуллі слід відрізняти від інших аналогічних.
Приклад У мисливця п’ять патронів . Він стріляє до першого влучення. Знайти ймовірність того, що буде витрачено k =1, 2, 3 патрони, якщо ймовірність влучення p = 0,8. Розв’язування. Наведена схема - це не схема Бернуллі, оскільки вилучений випадок k = 0, тому формулу Бернуллі застосовувати не можна. За умовою задачі маємо Р3 (1) = р = 0,8. Далі знаходимо Р3 (2) = (перший патрон – промах, другий – влучення). Нарешті,
При великій кількості випробувань n формулою Бернуллі користуватися незручно. Для цих значень n є формули, за якими можна наближено обчислити ймовірність за схемою Бернуллі. Такими є формули Лапласа, які задаються відповідними теоремами (подаємо їх без доведення): Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо ймовірність появи події в схемі Бернуллі дорівнює р ( р ≠ 0, р ≠ 1), а n велике, то
Функція - функція Гаусса. Ця функція затабульована (див. додатки) і має такі властивості: 1. > 0 . 2. — парна, . 3. max 4. Вісь х =0 є асимптотою графіка ( lim = 0, х → ∞). 5. ≈ 0 при х > 4 , x < - 4, що випливає з обчислень чи з аналізу таблиці значень функції .
Приклад Знайти імовірність того ,що з n= 100 зернин зійде рівно k = 80, якщо їх схожість р = 0,8. Розв’язування. Згідно з формулою Лапласа, а також з таблицею ,маємо
Інтегральна теорема Муавра-Лапласа Якщо ймовірність появи події в схемі Бернуллі дорівнює р ( р ≠ 0, р ≠ 1), то ймовірність того, що ця подія настане від k1 до k2 разів, дорівнює i= 1, 2 , Функція -функція Лапласа. Ця функція затабульована (див. додатки) і має такі властивості: 1.Ф (х) — непарна, Ф ( -х) = - Ф (х). 2. Ф (0) = 0. 3. Ф (х) зростає на ( - ∞‚ ∞ ), оскільки Ф(х) > 0. 4. Ф (х) ≈ 1/2 при х > 5, Ф (х) ≈ - 1/2 при х < - 5.
Приклад Металургійний завод дістав замовлення, для виконання якого необхідно провести 90 кондиційних плавок. Ймовірність того, що плавка буде кондиційною, р = 0,9. Тому вирішили зробити n =100 плавок. Йдеться про ймовірність Р100 (90,100) , для якої ,згідно з інтегральною теоремою, маємо
Р100 (90,100) = Ф (3,33) – Ф (0) ≈ 0,4994. Як бачимо, дістали не таку вже й велику ймовірність. Наступна теорема містить ще одну формулу, аналогічну формулі Бернуллі.
Формула Пуассона.Якщо в схемі випробувань Бернуллі р мале ( р< 0,1), n велике, тобто n p < 10, то Рn (k) ≈ е- а аk / k !, а = np
Читайте також:
|
||||||||
|