Властивості математичного сподівання

1. М (С) = С.

Справді, розглядаючи сталу як випадкову величину, яка набуває єдиного значення з імовірністю, яка дорівнює одиниці, маємо М (С) = С·1 = С.

2. М (ХY) = М (Х) М (Y) для незалежних Х і Y.

Н а с л і д о к 1. М (СХ) = СМ (Х).

Н а с л і д о к 2. М (Х – М (Х)) = 0.

Справді М (Х - М (Х))= М (Х) – М (М (Х))= М (Х) – М (Х) = 0.

Приклад

Знайти М (Х), якщо Х розподілена за біноміальним законом, тобто Х є кількістю появ деякої події при n випробуваннях за умови, що ймовірність появи події в кожному випробуванні дорівнює р. Нехай Х_і – кількість появ події в і-му випробуванні. Значення Х_і – це 0 або 1, ймовірності q і р, отже,

M (X_i) = 0 · q + 1 · p = p.

Далі знаходимо

М (Х)= М (Х₁ + Х₂ + . . . + Х_n ) = М (Х₁) + М (Х₂) + . . .+. М(Х_n)=np

Приклад

Знайти М (Х), якщо Х розподілено за законом Пуассона.

Розв’язування. Маємо

Для розподілу Пуассона М (Х) = λ(λ – параметр розподілу).

Для нормального розподілу М (Х) = а (а – параметр розподілу).

Для експоненціального розподілу М (Х) = .

Для рівномірного розподілу М ( Х ) = .

Для геометричного розподілу М (Х) = .

Дві випадкові величини можуть мати однакові математичні сподівання, але різне розсіяння своїх значень навколо математичних сподівань.

Наступна величина характеризує таке розсіяння.

ОзначенняДисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання, тобто

D ( X ) = M ( X - M ( X ))² (7.2)

Рівність (7.2) конкретизується для дискретних і неперервних величин відповідно ( якщо інтеграл збіжний)

Практичне тлумачення дисперсії полягає в тому, що вона характеризує ступінь розсіяння випадкової величини навколо її математичного сподівання і вимірюється в квадратних одиницях порівняно з одиницями вимірювання вихідної величини..

Останнє приводить до введення ще однієї характеристики – середнього квадратичного відхилення, тлумачення якого таке ж, як і дисперсії, а розмір такий, як і вихідної величини, а саме:

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Лекція 7 Числові характеристики випадкової величини	\|	Властивості дисперсії

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.