• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Мінори та їх алгебраїчні доповнення

Означення 2.5.1. Мінором М -го порядку визначника d n-го порядку називається визначник -го порядку, який отримано з визначника d в результаті викреслювання його рядків та його стовпчиків

Означення 2.5.2.Доповняльним мінором до мінораМ -го порядку визначника d n-го порядку називають мінор визначника d, який отримано після викреслювання з визначника d тих його рядків та стовпчиків, в яких розташовані елементи мінору М.

Зрозуміло, що порядок доповняльного мінору дорівнює .

Приклад. Записати мінор М другого порядку, який утворюють елементи визначника

,

що розташовані у першому та другому рядках та у четвертому та п’ятому стовпчиках. Навести доповняльний мінор до мінора М.

Розв’язання.Згідно з умовою задачі та означеннями мінору та доповняльного мінору маємо:

, .

Примітка. Кожний елемент визначника n-го порядку будемо вважати мінором першого порядку. Тоді відповідний доповняльний мінор буде мати порядок .

Означення 2.5.3.Алгебраїчним доповненням мінору М -го порядку, елементи якого розташовані у рядках з номерами та у стовпчиках з номерами визначника d n-го порядку, називають добуток , де – доповняльний мінор до мінору М, а .

Приклад. Знайти алгебраїчне доповнення мінору М з попереднього прикладу.

Розв’язання. Для мінору М: . Звідки, . За означенням 2.5.3 маємо, що алгебраїчне доповнення до мінору М дорівнює:

.

Далі за формулою (3.7) для обчислення визначника третього порядку одержимо:

.

Отже, шукане алгебраїчне доповнення мінору М дорівнює 24.

Теорема 2.5.1 [1]. Добуток будь-якого мінору М визначника d на його алгебраїчне доповнення є алгебраїчною сумою доданків, які можна отримати при множенні членів мінору М на взяті зі знаком члени доповняльного мінору . Ці доданки – деякі члени визначника d, причому їх знаки у зазначеній сумі збігаються з тими знаками, з якими вони входять у суму для обчислення визначника d. Число s таке, що – алгебраїчне доповнення до мінору М. Число s визначається за означенням 2.5.3.

> <

Нехай – деякий елемент визначника. Відповідне йому алгебраїчне доповнення будемо позначати . За означенням алгебраїчного доповнення , де – доповняльний мінор для елемента .

Приклад. Знайти алгебраїчні доповнення до відповідних елементів визначника:

.

Розв’язання. За означенням алгебраїчного доповнення

/згідно з формулою (3.8)/= ,

,

.

Теорема 2.5.2(про розкладання визначника за елементами рядка або стовпчика). Визначник -го порядку ( ) дорівнює сумі добутків елементів деякого його рядка або стовпчика на відповідні їм алгебраїчні доповнення:

(5.1)

4 За теоремою 2.5.1 кожний доданок ( ) правої частини рівності (5.1) є сумою членів визначника . Кількість цих членів, з яких складається сума , дорівнює . Загальна кількість членів визначника , що входять у праву частину рівності (5.1), дорівнює , тобто збігається з кількістю членів визначника -го порядку. Легко бачити, що усі розглянуті члени визначника різні. Дійсно, члени, що входять до складу , містять елемент з i-го рядка на відміну від членів, які входять у добуток і містять елемент з i-го рядка, і т.д. Таким чином, усі розглянуті доданків – члени визначника та з урахуванням знаків (теорема 2.5.1) сума цих членів дорівнює визначнику .3

Приклад.Обчислити визначник четвертого порядку:

.

Розв’язання. Розкладаємо визначник за елементами того рядка (стовпчика), який містить найбільшу кількість нульових елементів, наприклад, за елементами першого рядка. Одержимо

.

Узагальненням теореми про розкладання визначника за елементами рядка є теорема Лапласа.

Теорема 2.5.3(теорема Лапласа) [1]. Нехай у визначнику -го порядку довільно обрано рядків ( ). Тоді сума добутків усіх мінорів -го порядку, які містяться в обраних рядках, на їх алгебраїчні доповнення дорівнює визначнику .

> <

Приклад.За допомогою теореми Лапласа обчислити визначник з попереднього прикладу.

Розв’язання. Обираємо у визначнику два останні рядки. З них утворюється шість мінорів другого порядку. За теоремою Лапласа маємо:

.

Порівняйте отриманий результат з результатом попереднього прикладу.

Читайте також:

1. I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
2. VI. ДОПОВНЕННЯ ДО ЗОБРАЖЕНЬ
3. Алгебраїчні критерії стійкості
4. Алгебраїчні операції
5. Алгебраїчні системи
6. Викладені письмово і підписані експертом роз'яснення і доповнення висновку приєднуються до справи.
7. Декрет КМУ «Про державне мито» від 21.01.93 р. № 7-93 зі змінами і доповненнями 3. Порядок сплати держмита
8. Доповнення до основної організаційної структури
9. Доповнення і зміни (8).
10. Доповнення простору.
11. Доповнення та різниця множин
12. Зв'язок між запереченням і доповненням

Переглядів: 1116