• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Правило Крамера

Розглянемо визначник -го порядку

.

Будемо розкладати його за елементами -го стовпчика, отримаємо

.

Після заміни у одержаному розкладі чисел іншими числами , маємо суму

.

Цій сумі відповідає визначник

,

який отримано з визначника заміною елементів -го стовпчика числами . Якщо замість чисел взяти елементи якого-небудь іншого стовпчика визначника , що відмінний від -го стовпця, то визначник буде дорівнювати нулю, оскільки він містить два однакових стовпчика. Таким чином доведена лема.

Лема 2.6.1.Сума добутків алгебраїчних доповнень елементів будь-якого стовпця (рядка) визначника на відповідні елементи іншого стовпця (рядка) дорівнює нулю

.

Розглянемо далі систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими

(6.1)

Отримаємо явні вирази для розв’язків системи (6.1) через коефіцієнти цієї системи та вільні члені у припущенні, що визначник системи (визначник її матриці) відмінний від нуля.

Теорема 2.6.1(правило Крамера).Якщо визначник системилінійних алгебраїчних рівнянь (6.1)

.

(відмінний від нуля), то система має єдиний розв’язок, тобто є сумісною та означеною. Цей розв’язок визначається за правилом Крамера:

, , … , , (6.2)

де – визначник, який отримано з визначника після заміни -го стовпця стовпчиком вільних членів.

4 Спочатку доведемо, що при система (6.1) має єдиний розв’язок. Розширену матрицю системи (6.1) за допомогою скінченого числа елементарних перетворень її рядків приведемо до східчастого вигляду (теорема 1.2.1). При цьому матриця А системи (6.1), що складається з коефіцієнтів при невідомих, також буде приведена до східчастого вигляду С. За умовою теореми визначник матриці А системи . Згідно з властивостями 3 та 9 визначника при одному елементарному перетворенні рядків визначника його модуль не змінюється. Звідки виходить, що визначник східчастої матриці С не дорівнює нулю, оскільки його модуль дорівнює , а . Таким чином, східчаста матриця С має верхній трикутний вигляд:

,

причому . Дійсно, за формулою (3.6) визначник цієї матриці дорівнює добутку і, як було показано вище, є відмінним від нуля. Звідки виходить, що усі множники у добутку, що розглядається, відмінні від нуля.

Система рівнянь з матрицею східчастого вигляду

,

як відомо, еквівалентна вихідній системи (6.1). Але ця система рівнянь має, очевидно, єдиний розв’язок, оскільки , де – кількість ненульових рядків у східчастій матриці . Таким чином, система (6.1), також має єдиний розв’язок.

Тепер переходимо до доведення формул (6.2). Помножимо перше рівняння системи (6.1) на , друге на , …, а останнє на та додамо один до одного отримані рівняння, у підсумку будемо мати таке рівняння

.

За лемою 2.6.1 множники при дорівнюють нулю. Множник при за теоремою 2.5.2 (про розкладання визначника за рядком) дорівнює , а вільний член рівняння – це визначник

.

Таким чином, маємо . Звідки, враховуючи, що , виходить . Аналогічним чином можна показати, що , … , .3

Наслідок з теореми 2.6.1. Якщо система однорідних лінійних рівнянь з невідомими

має хоч один нетривіальний розв’язок, то її визначник дорівнює нулю.

4Припустимо супротивне, що визначник цієї однорідної системи не дорівнює нулю і при цьому система має нетривіальний розв’язок. Згідно з теоремою 2.6.1 при система має єдиний розв’язок (6.2), який є нульовим, і таким чином ненульових розв’язків не має. Прийшли до суперечності.3

Читайте також:

1. Аверсивную терапію використовують, як правило, при лікуванні алкоголізму, нікотиновій залежності і деяких інших захворювань.
2. Будучи, як правило, дочірніми фірмами великих компаній, вони існують за рахунок засобів венчурного капіталу і здійснюють чітко визначений вид діяльності.
3. В цілому сукупність суспільного продукту – це сукупність благ і послуг, вироблених суспільством за певний період часу (як правило, за рік).
4. В цілому сукупність суспільного продукту – це сукупність благ і послуг, вироблених суспільством за певний період часу (як правило, за рік).
5. Гарантії реалізації конст прав і свобод в ЗК. Правило Міранди,Мандамус,habeas corpus.
6. До основних засобів, як правило, не належать
7. Зайнятість – це ді-сть громадян, пов’язана із задоволенням особистих та суспільних потреб і така, що, як правило, приносить їм дохід у грошовій або іншій формі.
8. Зайнятість – це діяльність громадян, пов’язана із задоволенням особистих та суспільних потреб і така, що , як правило, приносить дохід у грошовій формі.
9. Заробітна плата – це винагорода, обчислена, як правило, у грошовому виразі, яку за трудовим договором власник або уповноважений ним орган виплачує працівникові за виконану роботу.
10. Золоте» правило інвестування.
11. І ми пам’ятаємо правило: Від живого споглядання до абстрактного мислення, і від нього до практики – такий є діалектичний шлях пізнання об’єктивної реальності.
12. Істотними умовами договору купівлі-продажу за загальним правилом є умови щодо предмету.

Переглядів: 482