Теорема Лагранжа

Цю теорему ще називають теоремою про скінчені прирости.

ТЕОРЕМА. Якщо функція у=f ( x ) неперервна на за-мкнутому проміжку[a ,b]і має похідну в кожній внутрішній то-

чці цього проміжку, то знайдеться принаймні одна така точ-ка х=с всередині проміжку, що справедлива рівність

f ( b ) − f ( a ) = ( b − a ) f ' ( c ) .

(4.5)

Доведення. Розглянемо допоміжну функціюF( x )=f ( x )−kx.

Ця функція неперервна, як різниця двох неперервних функцій, а та-кож має похідну у внутрішніх точках проміжку [a ,b] , бо її мають

функції f ( x ) та kx. Доберемо сталу k так, щоб F ( a ) = F ( b ). Тоді

F ( x ) буде задовільняти всі умови теореми	Ролля. Маємо
f ( a ) − ka = f ( b ) − kb. Звідки
k =	f ( b ) − f ( a )	.	(4.6)

	b − a
Отже, при такому k буде F ( a ) = F ( b ).

Застосуємо до F ( x ) теорему Ролля . Знайдемо похідну

F' ( x ) = f ' ( x ) − k .

Тоді існує точка х = с , а < c < b, що F' ( c ) = f ' ( c ) − k = 0.

Звідки k = f'(c). Підставивши це значення k у формулу (4.6), одер-жимо

	f ' ( c ) =	f ( b ) − f ( a )

			b − a
або	f ( b ) − f ( a ) = ( b − a ) f ' ( c ).
Теорема доведена.
Якщо покласти a = x₀ , b = x₀	+ x ,то рівність(4.5)запи-
шеться у вигляді f ( x₀ +	x )− f ( x₀ ) =	x ⋅ f' ( c ) ,де x₀ < c < x₀ + x.

Це означає, що приріст функції дорівнює приросту аргументу, помноженому на похідну в деякій проміжній точці с, що знаходить-ся між x₀ і x₀ + x. Звідси і друга назва теореми.

З теореми Лагранжа випливає два важливих наслідки.

Наслідок 1.Якщо похіднаf ' ( x )=0на деякому інтервалі(a ,b), то функція f ( x ) стала на цьому проміжку.

Доведення.Нехайf ' ( x )=0на(a ,b),аx₁іx₂-довільніточки з цього проміжку. За теоремою Лагранжа

f ( x₂ ) − f ( x₁ ) =( x ₂ − x₁ ) f ' ( c ) = 0. Звідси, f ( x₂) = f ( x₁), а це означає, що f ( x ) = const .

Наслідок 2.Якщо дві функціїf₁( x )таf₂ ( x )мають одна-

кові похідні на деякому проміжку, то ці функції на ньому відрізня-ються хіба що на сталу.

Доведення.Якщоf₁' ( x )=f₂' ( x )на проміжку(a ,b),тофункція F( x ) = f₁( x ) − f₂( x ) на підставі попереднього наслідку 1

дорівнює сталій: F ( x ) = c , тому що F' ( x ) = f₁' ( x ) − f₂' ( x ) = 0. Отже, f₁( x ) − f₂( x ) = c або f₁( x ) = f₂( x ) + c.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Жку її похідна дорівнює нулю.	\|	Теорема Коші

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.