Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Приклади задач оптимізації з економічним змістом

Задача 1.На підприємстві з відходів бляшаних листів прямо-кутної форми розмірами 8дм× 5дм вирішили виготовляти відкриті

зверху ящики найбі-

льшого об’єму, вирі-

завши по кутах рівні

квадратики

загну-

вши

бляху,

щоб

отримати бічні стін-

ки.

Якої

довжини

мають бути сторони

вирізаних квадратів?

Розв’язування.

Нехай x

сторони

вирізаних

квадратів

(мал.11).

Мал.1

Тоді

розміри

ящика будуть

8−2x,

5−2x і x. Об’єм ящика

V = x(5− 2x)(8− 2x).Знайдемо найбільше значення цієї функції приумові , що 0 < x < 2,5 .V = 4 x³ − 26 x² + 40 x. Обчислимо похідну

V ′= 12 x² − 52 x + 40.

Прирівнявши її до нуля, знайдемо критичні точки першого

роду:

12 x² − 52 x + 40 = 0 , 3 x² − 13 x + 10 = 0 ,

D = 13² − 4 ⋅ 3 ⋅ 10 = 169 − 120 = 49 ,

x₁ =	13 − 7	= 1, x₂	=	13 + 7	=	.


Оскільки точка x₂ =		> 2,5	не входить у вказаний промі-

жок, то вона відкидається.

Знайдемо другу похідну V ′′
V ′′= 24 x − 52; V ′′( 1 ) = 24 − 52 =−28 < 0 .
Отже, в точці x = 1		функція V досягає максимуму. При
x = 0 і x = 2,5 , V = 0 .

Відповідь:V_найб_. досягається при x = 1(дм) .

Задача 2.Треба виготовити відкритий циліндричний бакоб’єму V . Матеріал, з якого виготовляють дно бака коштує p₁ гри-

вень за м², а вартість матеріалу бокової поверхні - p₂ гривень за

м² . При якому співвідношенні радіуса дна до висоти витрати на ма-теріал будуть найменшими?

Розв’язування.Нехайrрадіус основи,аhвисота бака.Тодіоб’єм бака V = πr²h , а витрати на матеріал Z = πr²p₁ + 2πrhp₂ .

Виразимо з формули об’єму	h =		V	і підставимо у вираз для
	πr ²
Z. Одержимо функцію однієї змінної

Z =πr ² p₁	+	2πrVp₂	=πr ² p₁	+	2Vp₂	. Знайдемо похідну
	πr ²
						r
Z′= 2πrp	−	2Vp₂	.

			r ²

Знаходимо критичні точки:

2πrp₁	−	2Vp₂	= 0 ,πr ³ p₁ = Vp₂ ;	r ³ =	Vp₂	;r = 3	Vp₂	,
r ²	πp		πp

друга точка r = 0 не входить в область визначення функції.

Знайдемо Z′′ = 2πp₁ +

2Vp₂ ⋅ 2r

= 2πp₁

4Vp₂

;

r ⁴

r ³

Z′′( r ) = 2πp

4Vp₂

= 2πp + 4πp

= 6πp

> 0.

Vp₂

πp₁

Vp₂

Отже, в точці

r = 3

функція витрат Z має мінімум.

πp

− 2

Знаходимо h :

h = V : π³

π^p1

^p1

p₂

Знайдемо відношення

^p1

− 2

p₁

π ^p1

Отже, радіус дна до висоти бака повинен відноситись як ціна матеріалу дна до ціни матеріалу бокової поверхні.

Задача 3.Фірма вирішила випускати нові радіоприймачі.Економічним підрозділом фірми встановлено, що при випуску x приймачів щоквартально затрати будуть V ( x ) = 90000 + 30 x (гри-

вень), а кількість проданих приймачів в залежності від ціни p (гри-вень) за один приймач становитиме x = 9000 − 30 p. При якому ви-

пуску фірма матиме найбільший дохід і прибуток? Який найбіль-ший дохід і прибуток, і при якій ціні, якщо фірма щоквартально мо-же випускати до 5000 приймачів?

Розв’язування. Знайдемо ціну р:

30 p = 9000 − x; p = 300 − ^x . Тоді дохід від реалізації

x x²

радіоприймачів D( x ) = px = ( 300 − )x = 300 x − .

Знайдемо маржинальний дохід і, прирівнявши його до нуля, знайдемо критичні точки:

D′( x ) = 300 − 2 x = 300 − x ; 300 − x = 0; x = 4500 .

Оскільки D′′( x ) = − < 0 , а точка x = 4500 єдина входить в

даний проміжок [0;5000], то в цій точці D(x) досягає найбільшого

значення. D_max = D( 4500 ) = 300 ⋅ 4500 − ^{( 4500 )}² = 675000 (гривень).

30

Досягається це значення доходу при ціні на приймач

p = 300 − ⁴⁵⁰⁰ = 150 (гривень).

30

Прибуток P( x ) шукаємо як різницю між доходом D( x )

і витратами V ( x ) : P( x ) = D( x ) − V ( x ).

P( x ) = 300 x − x² − 30 x − 90000 = 270 x − x² − 90000.

Знаходимо маржинальний прибуток і, прирівнявши його до

нуля, критичні точки:

P′( x ) = 270 − 2 x = 270 − x ; 270 − x = 0 ; x = 4050 .

Оскільки P′′( x ) = − , а точка x = 4050 єдина входить в промі-

жок [0;5000], то в цій точці P(x) досягає найбільшого значення.

P_max = P( 4050 ) = 270 ⋅ 4050 − ^{( 4050 )}² − 90000 = 456750 (гривень).

30

З формули прибутку видно, що максимальний прибуток дося-гається, якщо D′( x ) = V ′( x ) , тобто коли маржинальні витрати до-

рівнюють маржинальному доходу.

Максимальний прибуток досягається при випуску і продажі

4050 приймачів по ціні р = 300 − ⁴⁰⁵⁰ = 165 (гривень).

30

Отже, максимальна виручка (дохід) 675000грн. досягається при випуску і реалізації 4500 радіоприймачів по ціні 150грн. за приймач, а максимальний прибуток 456750грн. при випуску і реалі-зації 4050 радіоприймачів по ціні 165грн. за приймач.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Найменше та найбільше значення функції на відрізку	\|	Опуклість і вгнутість графіка функції. Точки перегину

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.012 сек.