Геометричний зміст частинних похідних

Частинним похідним першого порядку можна дати гео-метричну інтерпретацію по аналогії з геометричним змістом похідної для функції однієї змінної.

Нехай функція z = f ( x , y ) зображується в просторі де-якою поверхнею. Спроектуємо точку M ( x₀, y₀, z₀) цієї повер-хні на площину x0 y і отримаємо точку M₀( x₀, y₀) (мал.9).

	С	F	В	z=f(x,y)
		M(x₀,y₀,z₀)
		O	y₀	y
	x₀			β
			^M0^(x0^,y0_D	T
x	А
α
	S			Мал.9
При знаходженні	^∂^z покладемо y = y₀ , тоді будемо мати
		∂x

z=f(x,y₀).Ця функція однієї змінної має графіком криву AB,яка розміщена в площині y=y₀. З геометричної точки зору час-

тинна похідна _∂^∂^z в точці M₀( x₀, y₀) дорівнює tgα (по анало-x

гії з функцією однієї змінної), оскільки дотична MS до кривої AB утворює з віссю Ox кут α.

Таким чином ^∂^z( x₀, y₀) = tgα

∂x

Перетнемо тепер поверхню z = f ( x , y ) площиною x = x₀ .Отримаємо функцію z = f ( x₀ , y ) ,графіком якої є крива

CD .Тоді дотична MT в точці M ( x₀ , y₀ ,z₀ ) до кривої

CD утворює з віссю 0 y кутβ.Тому ∂z ( x₀ , y₀ ) = tgβ.

∂y

Приклад 1..Знайти частинні похідні функціїz=e ^x ²⁺^y ³⁺³ .Розв’язування. Використовуємо табличну похідну

( e^u )′= e^uu′.

z′ ₌ _e x ² + y ³ + 3 ( x² + y³ + 3 )′ ₌ _e x ² + y ³ + 3 _⋅ _{2 x} ₌ _{2 xe} x ² + y ³ + 3 _.

x x

Аналогічно

z′ ₌ _e x ² + y ³ + 3 ( x² + y³ + 3 )′ ₌ _e x ² + y ² + 3 _⋅ _{3 y}2 ₌ _{3 y}2_e x ² + y ² + 3 _.

y y

4.3. Економічний зміст частинних похідних Відповідним чином можна надати економічного змісту час-

тинним похідним.

Розглянемо в якості прикладу функцію Кобба-Дугласа

y = A ⋅ K ^α L^β

Величину l = y будемо називати середньою продуктивністю

L

праці(кількість продукції,виробленої одним робітником).

Величину k = ^y будемо називати середньою фондовіддачею

K

(кількість продукції, що вироблена одним верстатом).

Величину f = ^K назвемо середньою фондоозброєністю

L

(фондоозброєність-це вартість фондів,що припадають на одиницютрудових ресурсів).

Зафіксуємо біжучий стан підприємства, тобто об’єм фондів K і число працівників L .Їм відповідає випуск продукції y = y( K , L ) .Якщо найняти ще одного працівника,то приріст випу-

ску продукції

y = y( K , L + 1 ) − y( K , L ) . y y′ ( K , L ) L

А це є частковий приріст функції по L і тому ≈

L

Оскільки L = 1, то y ≈ y′ ( K , L ).

L

Отже, частинна похідна від виробничої функції по об’єму трудових ресурсів приблизно рівна додатковій вартості продукції, що вироблена ще одним робітником. Тому похідна

y′=βA ⋅ K ^α⋅ L^{β −} ¹

L
Читайте також:
В цьому полягає механічний (фізичний) зміст похідної.
Види тлумачення норм права за обсягом їх змісту
Вимоги до змісту контрольної роботи
Вимоги щодо змісту та оформлення документів
Відмінності кредитних деривативів від похідних фінансових інструментів.
Відображальне відношення і власний зміст релігійного феномену
ВСТУП. ЗНАЧЕННЯ, ЗМІСТ ТА ЗАВДАННЯ ПРЕДМЕТУ.
Геометрична інтерпретація частинних похідних функції 2-х змінних.
Геометричний зміст визначеного інтеграла.
Геометричний зміст диференціала
Геометричний зміст похідної
Геометричний зміст похідної

Переглядів: 3059

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Неперервність функції двох змінних в точці | Називається граничною продуктивністю праці.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.