Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

	(_∫ f ( x )dx)^′= f ( x )	(6.4)
Доведення.Згідно з означенням(6.2)	∫	f ( x )dx = F ( x ) + C ,
а тому (	f ( x )dx )^′=( F ( x ) + C )^′=( F ( x ))^′	+(C )^′= f ( x ) .
∫

Отже похідна від первісної дорівнює підінтегральній функції.

ТЕОРЕМА 4.(Властивість2)Диференціал від невизначе-

Ного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу

d (_∫ f ( x )dx)= f ( x )dx (6.5)

Доведення.За означенням диференціалаd ( f ( x ))=f′( x )dx.

Тому

d (_∫ f ( x )dx)= d( F ( x ) + C )= d( F ( x ))= F ′( x )dx = f ( x )dx .

ТЕОРЕМА 5.(Властивість3)Невизначений інтеграл від

диференціала деякої функції F(x) дорівнює цій функції з точністю до довільної сталої,

_∫d ( F ( x ))= F ( x ) + C .

(6.6)

Доведення.Продиференціюємо ліву і праву частини рівності.

Одержимо: d _∫d ( F ( x )) = d ( F ( x )) = f ( x )dx і

d( F( x ) + С ) = d( F( x )) = F′( x )dx = f ( x )dx .

Праві частини рівностей однакові. Значить рівні й ліві. Теоре-му доведено.

Аналогічно, диференціюванням лівої і правої частин рівності, доводяться теореми 6 і 7.

ТЕОРЕМА 6.(Властивість4).Сталий множник можна ви-

Носити за знак невизначеного інтеграла.

_∫ kf ( x )dx = k_∫ f ( x )dx (k=const)

(6.7)

ТЕОРЕМА 7.(Властивість5)Інтеграл від алгебраїчної су-

Ми скінченого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій

_∫( f ₁ ( x ) ± f₂ ( x ))dx =_∫ f ₁ ( x )dx ±_∫ f₂ ( x )dx .

(6.8)

Таблиця невизначених інтегралів

Інтегрування є операція, обернена до диференціювання. Тому формули інтегрування отримують з формул для знаходження похід-них. А універсальність застосування формул інтегрування випливає з теореми про незалежність вигляду невизначеного інтеграла від вибору аргументу (інваріантність невизначеного інтеграла відносно змінної інтегрування ).

ТЕОРЕМА 8. Нехай f(x) – деяка неперервна функція на даному проміжку, х – незалежна змінна, F(x) – її первісна,

_∫ f ( x )dx = F( x ) + C і нехай u =ϕ( x ) неперервно диференційо-

вана функція. Тоді_∫f ( u )du=F ( u )+C . (6.9)

Доведення.Розглянемо інтеграл_∫f ( u )du=_∫f ( u )u′dx.Вцьому випадку складна функція F( u ) = F( ϕ( x )) є первісна для f(u).

Справді, внаслідок незалежності диференціала першого по-рядку від вибору незалежної змінної, одержуємо dF ( u ) = F ′( u )du = f ( u )du .При цьому

^d F ( u )	dF ( u ) du		f ( u )u′.
	[	] =		=
	du dx
dx

Тому, з справедливості формули (6.3), випливає справедли-вість формули

_∫ f ( u )du = F ( u ) + C .

(6.9)

Отже формулами інтегрування можна користуватись при будь-якій змінній інтегрування. Використовуючи таблицю дифере-нціалів основних елементарних функцій, виведемо деякі формули інтегрування. Інші виводяться аналогічно.

1) Інтегруючи формулу dtgu =

одержимо

cos² u

= tgu

+ C .

(6.10)

^∫cos² u

2) В випадку показникової функції, використовуємо формулу

d ( a^u ) = a^u ln adu .Інтегруючи цю рівність,одержимо

_∫ a ^u ln adu = ln a_∫a^udu = a^u + C₁ .І далі

_∫a^udu =

_au

C₁

_au

+ C .Внаслідок того,що lnaвеличина ста-

lna

ла то і

C₁

теж довільна стала, яку прийнято записувати С.

lna

_∫a^udu =

_au

+ C .

(6.11)

ln a

3) Виведемо формулу інтегрування з формули

darctgu =

+ u²

Одержимо _∫

= _∫

∫

arctg

+ C .

+ u

a ² ( 1 +

)

1 +

a²

Отже

∫

arctg

+ C

(6.12)

+ u

4) Інтегруючи формулу диференціювання

d arcsin u =

1 − u²

одержуємо _∫d arcsin u = _∫

або _∫

= arcsin u + C .Ви-

1 − u

користовуючи цю формулу, будемо мати

∫

= _∫

= arcsin

+ C .

− u

1 −

a²

= arcsin

+ C .

(6.13)

∫

a² − u²

₅₎∫_uⁿ_du ₌ ^uⁿ⁺ ¹ ₊ _C _, _{( n} _{≠ −}_{1 )} _. n + 1

Для виведення цієї формули використовують формулу для знаходження диференціала duⁿ = nuⁿ⁻ ¹du . Якщо показник степеня дорівнює n+1 формула запишеться так: duⁿ⁺ ¹ = ( n + 1 )uⁿdu .

Інтегруючи цю формулу (ліву і праву частину) і, зробивши перетво-рення, одержимо

_∫uⁿ du = _un + 1 + C ( n ≠ −1 ) (6.14)

n + 1

a + u

6) Формули ∫ du = + C (6.15)

ln

a 2a a − u

− u

та ∫ du = ln u + u² + a² + C (6.16)

u² ± a²

доводяться диференціюванням лівої і правої частин рівності. Такий метод доведення формул можна використовувати для

будь-якої формули інтегрування.

7) Доведемо справедливість формули _∫ ¹_хdx = lnх + C .

Нехай х>0 . Тоді x = x і (ln x + C )′= Якщо х<0, то

x

− 1

x =− x і (ln x + C )′= ln( − x ) + C )′= = . Формула доведена.

− x

x

Для компактності всі формули зводять в таблицю.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Базовою для інтегрального числення є така теорема: ТЕОРЕМА 2. Якщо функція неперервна, то для неї існує	\|	ТАБЛИЦЯ ОСНОВНИХ ІНТЕГРАЛІВ

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.011 сек.