ВЛАСТИВОСТІ СПЕКТРІВ

Приведемо без доказів ряд властивостей спектрів.

1. Амплітудно-частотна характеристика і реальна частина спектру F(co) довільного речовинного сигналу f(t) є парними функціями частоти, а його уявна частина і фазо-частотна характеристика — непарними, тобто

(1.73)

2. Теорема 1 (теорема масштабів). Хай сигнал f(t) має спектр F(w). Тоді сигнал f(°°t), де °° — довільне дійсне число, має спектр

Дану теорему ілюструє рис. 1.32, де зображені прямокутні сигнали f{t) і Д°°0> °о ~ 2 (рис. 1.32,а) і відповідні їм спектри F(w) і .,F(—) (рис. 1.32,б).

Рис. 1.32. Залежність функцій x(t) і х(<о)

Слідство. Перехід від речовинного сигналу f(t) до інвертованого в часі сигналу /(-*) приводить до перетворення спектру початкового сигналу F(w) в комплексно-зв'язаний спектр.

Дане твердження витікає безпосередньо з теореми масштабів і приведеної вище властивості спектрів 1, через яке ReF(w) — парна функція, а lmF(u)) — непарна. Дійсно, спектр сигналу f(—t) має вигляд

3. Теорема 2 (теорема Релея — Парсеваля). Енергія сигналу рівна діленою на 1л енергії його спектру:

(1.74)

Зауваження. З рівності (1.74) виходить, що енергія сигналу не залежить від його фазо-частотної характеристики, оскільки остання "не бере" участь в правій частині (1.74).

4. Теорема 3 (теорема запізнювання) . Хай сигнал f(t) має спектр F(w). Тоді сигнал Д?—т) (початковий сигнал f(t), що запізнився на час г) володіє спектром Р(ш) е'шг.

Дану теорему ілюструє рис. 1.33, на якому показано проходження сигналу через лінію затримки на час р.

Рис. 1.33. Перетворення сигналу при затримці на час т

5. Теорема 4 (теорема згортки). Хай маємо два сигнали — u(t) і v(t). Введемо третій сигнал w(t) за допомогою так званої формули згортки

(1.75)

Тоді спектри сигналів u(t), v(t) і w(t) зв'язані співвідношенням w(a>)= U(W) V(CJ).

(1.76)

6. Теорема 5 (теорема диференціювання). Якщо сигнал f(t) має спектр F{(D), TO похідна сигналу

(1.77)

Має спектр

7. Теорема 6 (теорема зсуву спектру). Множення сигналу f(t) із спектром F{w) на функцію 2 cosco0? або 2 smwot приводить до наступних результатів:

(1.78)

(1.79)

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Теорема Котельникова.	\|

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.