Теорема Котельникова.

Сигнал, що описується функцією з обмеженим спектром, повністю визначається своїми значеннями, відліченими через інтервали часу At = l/2Fc, де Fc — ширина спектру сигналу.

Будь-який сигнал, передаваний по якій-небудь реальній системі зв'язку і управління, має обмежений частотний спектр, тобто, в його розкладанні на гармонійні складові відсутні або неістотні зважаючи на своєї трохи складові з частотами вище за деяке граничне значення Fc. Причиною цього явища може служити або властивість джерела сигналу, або обмежена ширина смуги пропускання каналу, по якому сигнал поступає до даної системи.

Таким чином, теорема Котельникова застосовна практично до будь-якого реального сигналу, передаваного по реальній системі зв'язку і управління.

Сенс теореми Котельникова полягає в тому, що якщо потрібно передавати сигнал, що описується функцією f{t) з обмеженим спектром, то досить передати окремі миттєві значення, відлікові через кінцевий проміжок часу (рис. 1.30), тобто функцію / (f) можна представити у вигляді:

(1.70)

Рис. 1.30. Відлікові значення сигналів члени суми у цей момент рівні нулю

Функція - U-7U) не містить частот вище за Fc, її спектральна характеристика постійна усередині смуги і рівна нулю поза смугою. Графік цієї функції, представлений на рис. 1.31, показує, що вісь симетрії функції доводиться на той момент часу t = коли вона рівна одиниці. У моменти ж часу t — -jp-, де до т* п, вона рівна нулю. Отже, сума (1.70) у момент часу t - ?*-*- дає значення функції / ЬТТН' оскільки вся решта членів суми у цей момент рівна нулю.

Рис. 1.31. Зміна функції

Представлення функції f(() у вигляді (1.70) називають поряд Котельникова (див. рис. 1.31).

Реальні сигнали мають початок і кінець, тобто функції, що описують їх, мають кінцеву тривалість Т. Но обмежені в часі функції не можуть мати обмежений спектр, в чому ми переконалися на ряду прикладів. Це ж можна довести і в загальному вигляді. Проте звичайно спектральна щільність убуває із зростанням частоти і з тим або іншим ступенем точності можна рахувати спектр обмеженим деякою найбільшою частотою Fc. При цьому теорема Котельникова приблизно справедлива і її сенс полягатиме в тому, що функція f(t), обмежена інтервалом часу Г, визначається числом 2FC 2FC 2FC 2FC 2FC 2FC N — 2FCT своїх дискретних значень, відлічених через рівні проміжки часу At = l/2FL. Більш загальні дослідження показують, що відліки не обов'язково виробляти через рівні проміжки часу: досить знати, наприклад, значення функції і її похідної в точках відліку, узятих через одну, тобто проміжком 2Д/ = \/ Fc і т.д. Проте для повного визначення функції на інтервалі часу Т завжди потрібно мати N=2FCT відповідних даних об функції, які одержали назву "координат" сигналу унаслідок широко вживаної геометричної інтерпретації сигналів в теорії інформації. Якщо спектр сигналу безперервний (рис. 1.32), то функцію f(t) можна представити

(1.71)

При записі результату (1.71) використовувалося співвідношення Ейлера

Рівність (1.71) показує, що довільний сигнал f(t) представлений у вигляді нескінченного набору (суми) косинусоїд і синусоїд з частотами кАш і комплексними коефіцієнтами. Якщо відвернутися від постійного для всіх значень номера до множника АСУ /2Л, то цими коефіцієнтами при функціях sinkAau і coskAmt служать відлікові значення спектру х(кАш). Отже, кожен сигнал "складається" з косинусоїд і синусоїд (тобто, є їх сумою) з відповідним чином підібраними коефіцієнтами.

Іноді переважно відмовитися від ейлерова представлення комплексної експоненціальної функції е і обмежитися при веденним вище представленням сигналу.

Останній вираз можна інтерпретувати таким чином: кожен сигнал є сумою комплексних експоненціальних функцій, чия речовинна частина — косинусоїда, а уявна — синусоїда.

Визначення 1. Сукупність всіх коефіцієнтів х(кАш), -со < до < оо, точніше, їх граничних значень при Дсо— 0, тобто функція х(ш), -оо < з < оо, називається спектром сигналу f(i).

Експоненціальні функції е""1', е""2', ш^ = ш2 володіють чудовою властивістю — ортогональностью на осі -оо < ш < оо

Визначення 2. Дві в загальному випадку комплексні функції F (х) і G(x), а < х < Ъ називаються ортогональними на інтервалі (а, Ь), якщо виконується рівність

(1.72)

де межа позначає перехід до комплексно-зв'язаної величини. Зрозуміло, для речовинних F(x) і G(x) рівність (1.72) переписується без межі над G(x).

Даній умові ортогональності задовольняють, зокрема, косинусоїди і синусоїди різних частот при а=-°°, А=оо.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
ПРЕДСТАВЛЕННЯ СИГНАЛІВ	\|	ВЛАСТИВОСТІ СПЕКТРІВ

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.