Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Дії над множинами

1. Включення.

Множина називається підмножиною множини , якщо кожний елемент множини є елементом множини . Символічно:

Це позначають як або Порожня множина вважається підмножиною будь-якої множини:

Зауважимо, що множини рівні тоді і тільки тоді, коли і

Операції над множинами можна символічно задати геометричними фігурами на площині.

Зображення включення .

2. Об’єднання.

Об’єднанням множин і називається множина, що складається з тих елементів, які належать принаймні одній із множин або (позначають ), тобто

Зображення об’єднання .

Властивості операції об’єднання:

1. (комутативність),

2. (асоціативність),

3. ,

де — довільні множини з універсуму .

3. Перетин.

Перетином множин і називається множина, що складається із спільніх елементів множин і (позначають ), тобто

Зображення перетину .

Властивості операції перетину:

1. (комутативність),

2. (асоціативність),

3. ,

де — довільні множини з універсуму .

Операції об’єднання та перетину пов’язані між собою двома дистрибутивними законами:

1. ,

2. ,

де — довільні множини з універсуму .

4. Різниця.

Різницею множин і називається множина, що складається з усіх тих елементів множини , що не належать множині (позначають ), тобто

Зображення різниці .

5. Доповнення.

Доповненням до множини називається множина (позначають ), тобто

Зображення доповнення .

Властивості операції доповнення:

1) ,

2) ,

3) ,

4) (перший закон двоїстості),

5) (другий закон двоїстості).

6. Симетрична різниця.

Симетричною різницею множин і називається множина

Зображення симетричної різниці .

Властивості симетричної різниці:

1) (комутативність),

2) ,

3) .

7. Прямий добуток.

Впорядкованою парою елементів і називається множина

Елемент називається першим елементом пари, а елемент — другим. Спорядковані пари і рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні елементи і :

Зауважимо, що при маємо, що

Прямим добутком множин і називається множина відповідних пар, в яких перший елемент належить множині , а другий — множині (позначають ), тобто

Приклади прямого добутку:

1. Нехай

, .

Тоді

2. Нехай . Тоді прямий добуток є множиною всіх впорядкованих пар дійсних чисел і позначається . Отже . Відомо, що вибравши систему координат на площині, можна кожну точку площини задати впорядкованою парою чисел. Метод координат застосував у XVII ст. французький математик і філософ Рене Декарт, тому прямий добуток іноді називають декартовим.