МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
За теоремою Гаусса
. (6.3.14)
Прирівнюємо праві частини (6.3.13) і (6.3.14), одержимо
=. Звідки , (6.3.15)
що збігається з формулою (6.3.6)
Висновок. Теорема Гаусса значно спрощує розрахунки, але має дуже вузькі рамки використання. Більш загальним, універсальним методом розрахунків напруженості електричного поля є метод суперпозиції, який у кінцевому випадку зводиться до інтегрування.
ЛЕКЦІЯ 7
ПОТЕНЦІАЛ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОЛЯ 7.1. Циркуляція вектора напруженості .Теорема про циркуляцію вектора напруженості. Потенціальна енергія заряду. 7.2. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів. Принцип суперпозиції. 7.3. Зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатич-ного поля . Приклади розрахунку полів. 7.1. Циркуляція вектора напруженості. Теорема про циркуляцію вектора напруженості. Потенціальна енергія заряду Знайдемо роботу переміщення точкового заряду qо в електричному полі точкового заряду q із точки 1 в точку 2 (рис 7.1)
Рис 7.1
На елементарному переміщенні d силою виконується елементарна робота, яка дорівнює
dА = = F·dl·cosa = dr, (7.1.1)
де dr=dl cos a - проекція переміщення d на напрям дії сили. Інтегруємо вираз ( 7 .1 .1) в межах від r1 до r2 , одержимо
A1,2 = = . ( 7. 1. 2)
З формули ( 7 .1 .2) видно, що робота переміщення точкового заряду qо із точки 1 в точку 2 поля статичного заряду q не залежить від форми шляху, а визначається лише положенням початкової й кінцевої точок. Цей висновок є доказом того, що поле точкового заряду є потенціальним, а діючі в цьому полі сили є консервативними.
У випадку замкнутого контуру робота переміщення точкового заряду qо в полі статичного заряду q буде дорівнювати нулю (рис 7.2).
Рис. 7.2
Елементарна робота сил поля на шляху dдорівнює
qd= qoEcosadl = qoEedl, де Ee = Ecosa.
Робота перенесення точкового заряду qo по замкнутому контуру в цьому випадку буде дорівнювати нулю
qo= qo=0. ( 7.1 .3)
Оскільки qo0, то
= 0. ( 7. 1 .4)
Вираз (7. 1. 4) називають теоремою про циркуляцію вектора електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру. Силове поле, яке наділене такими властивостями, називають потенціальним полем. Формула (7.1.4) має використання лише для статичних (нерухомих) зарядів.
В потенціальних полях робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії. Скориставшись формулою (7.1.2), виразимо роботу сил поля по переміщенню точкового заряду qo з точки 1 в точку 2 поля заряду q, через потенціальні енергії заряду qo, в цих точках ( рис 7 .1)
A1,2 == - = П1 – П2, (7.1.5) де П1 = - потенціальна енергія заряду q0 в точці 1 поля точкового заряду q;
П2 = - потенціальна енергія заряду qo в точці 2 поля точкового заряду . Або виразимо цю роботу через зменшення потенціальної енергії, при перенесенні заряду q0 з точки 1 в точку 2, тобто
А1,2 = - ( П2 – П1 ) . ( 7. 1. 6)
Якщо поле створюється системою точкових зарядів, то потенціальна енергія заряду qo, в полі системи точкових зарядів q,i матиме вигляд П = qo. (7.1 .7)
Важливо знати,що для однойменних зарядів потенціальна енергія їх взаємодії завжди додатна, а потенціальна енергія взаємодії різнойменних зарядів завжди від’ємна.
7.2. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів. Принцип суперпозиції В лекціях з розділу “Механіка“ потенціальна енергія матеріальної точки або тіла визначалась через роботу переміщення тіла з будь-якої точки поля в деяке фіксоване положення, вибране за нульове положення, тобто = П . ( 7.2.1)
Для електричних зарядів сила = qo, тому
qo= П . ( 7.2.2.)
З рівності (7.2.2) можна зробити висновок, що відношення = const, тобто який би заряд qi не розміщувати в поле іншого заряду, відношення потенціальної енергії заряду qi до величини цього заряду для даної точки поля буде величиною сталою. Цю величину називають потенціалом і позначають буквою j , тобто
j = . (7. 2. 3)
Потенціал j в будь-якій точці електростатичного поля є скалярною величиною, яка визначається потенціальною енергією позитивного пробного заряду, поміщеного в цю точку. З урахуванням формули (7 .1. 5) потенціал поля точкового заряду q буде дорівнювати j = . ( 7. 2. 4 )
При переміщенні одиничного позитивного заряду з точки 1 поля в точку 2 виконану роботу можна виразити спочатку через різницю потенціальних енергій, а потім і через різницю потенціалів поля в цих точках, тобто
A1,2 = П1 – П2 = qo (j1 - j2) =qo Dj. ( 7. 2. 5 )
Різниця потенціалів в двох точках поля j1 - j2 визначається роботою сил поля по переміщенню точкового позитивного заряду із точки 1 в точку 2, тобто j1 - j2 = . ( 7. 2. 6 )
Якщо вибрати точку 2 за межами поля, скажемо на безмежності, то й потенціал поля там буде дорівнювати нулю. Тому потенціал поля точкового заряду з цих міркувань можна виразити ще й так:
j = , ( 7. 2. 7 )
де A1,¥ - робота переміщення заряду qo з даної точки 1 в безмежність; qo - точковий позитивний заряд. Потенціал точкового заряду, так само як і різниця потенціалів, вимірюється в Дж/Кл або вольтах ( В ).
Для системи точкових зарядів потенціал поля в довільний точці поля цих зарядів визначається за допомогою принципу суперпозиції полів, тобто j = , ( 7. 2. 8)
де jI – потенціал і -го заряду в цій точці поля. Потенціал поля системи електричних зарядів дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів полів всіх цих зарядів. У випадку просторового розміщення системи електричних зарядів, потенціал поля цих зарядів знаходиться шляхом інтегрування. Розглянемо приклад розрахунку потенціалу просторово розміщених електричних зарядів. Для цього знайдемо потенціал поля рівномірно зарядженого стрижня довжиною l з лінійною густиною зарядів t, в точці А, яка перебуває на продовженні осі стрижня на відстані а від його кінця (рис. 7.3). Рис 7.3
На стрижні виділимо безмежно малу ділянку, довжиною dx із зарядом dq, для якої потенціал в точці А можна записати, як для точкового заряду, а саме dj = . (7.2.9)
Величина точкового заряду dq дорівнює tdx, тому
dj = . (7.2.10)
Проінтегруємо цей вираз в межах зміни x від а до a+l, тобто
j = = ln .
Аналогічно можна виконувати розрахунки потенціалу просторово розміщених електричних зарядів та в інших випадках
7.3. Зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатич-ного поля. Приклади розрахунку полів
Як уже показано вище, робота переміщення одиничного позитивного заряду qo в полі заряду q, виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії, тобто
А1,2 = П1 – П2 = -(П2 – П1) = -q(j2 - j1).
Запишемо цю роботу для безмежно малого переміщення, на якому електричний потенціал змінюється на безмежно малу величину
dА = -qodj, і dА = qo. (7.3.1)
Прирівняємо праві сторони рівностей (7.3.1), одержимо зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатичного поля:
= -dj, звідки E = -. (7.3.2)
Сам потенціал dj є величиною скалярною, а градієнт зміни потенціалу в певному напрямі є величиною векторною. В більш загальному випадку просторового переміщення точкового заряду формула (7.3.2) набуває вигляду
= -j = -j,
де - вектор, який має назву оператора Гамільтона або його ще називають “набла”. Оператор є вектором, який також можна записати так
= + + , (7.3.3)
де ,,- одиничні вектори в напрямку осей x,y,z декартової системи координат. Знайдемо різницю потенціалів j2 - j1, в двох точках поля біля безмежної поверхні з поверхневою густиною зарядів s у відповідності з рисунком (рис.7.4) Рис 7.4
Скористаємося формулою (7.3.2) зв’язку напруженості електрич-ного поля з потенціалом, одержимо
dj = -Edr. (7.3.4)
Напруженість поля E біля безмежної поверхні розрахована в шостій лекції (6.3.3), тому скористаємось готовим результатом, який дорівнює E = . Тоді dj = -dr.
Інтегруємо цей вираз в межах зміни координати від x1 до x2 і зміни потенціалу від φ1 до φ2, одержимо
= -, звідки j2 - j1 = -(x2 – x1), або j1 - j2 = (x2 – x1). (7.3.5)
2. Потенціали поля в двох точках біля довгого, рівномірно зарядженого стрижня з лінійною густиною зарядів t у відповідності з рисунком (рис. 7.5)
Читайте також:
|
||||||||
|