Дослідження на екстремум функції двох змінних

Означення. Функція z=f(x,y) має максимум в точці , якщо для усіх точок (x;y), достатньо близьких до точки і відмінних від неї.

Аналогічне означення - для мінімуму.

Максимум або мінімум функції називаються екстремумом.

Необхідна ознака екстремуму. В точках екстремуму функції кількох змінних її частинні похідні першого порядку або дорівнюють нулю, або не існують:

. (1)

Точки, в яких виконуються рівності (1), називаються стаціонарними. Рівності (1) є необхідними, але не достатніми умовами існування екстремуму. Це означає, що не усі точки, при яких виконується умова (1), є точками екстремуму.

Достатня умова екстремуму функції двох змінних.

Щоб визначити екстремум функції z=f(x,y) двох незалежних змінних, треба

а) Знайти стаціонарні точки (x;y), в яких функція може досягти екстремуму, для чого треба розв’язати систему рівнянь

б) Обчислити значення частинних похідних 2-го порядку в кожній стаціонарній точці (x,y), одержані числа позначити відповідно А, В, С:

в) Скласти вираз ∆=АС-В².

Якщо ∆>0, то екстремум в стаціонарній точці є, причому при А>0 - min, а при А<0 – max.

Якщо ∆<0, то екстремуму в стаціонарній точці немає.

Якщо ∆=0, то маємо сумнівний випадок і для його з’ясування треба проводити додаткові дослідження, які знаходяться поза навчальною програмою.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Точки перетину з осями; проміжки знакосталості функції.	\|

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.