Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Тоді із різниці формул (6.3) та (6.4) отримаємо

. (6.6)

Дослідженнями встановлено, що дія випадкових похибок має певні властивості.

Властивості випадкових похибок. При незмінному комплексі умов ряд випадкових похибок D₁, D₂, ..., D_n однієї і тієї ж величини має властивості:

1. Обмеженості – абсолютні значення випадкових похибок не перевищують заданої граничної величини

|D| £D_гр (6.7)

2. Унімодальності – число Nмінімальних за абсолютним значенням випадкових похибок в ряду вимірів значно більше кількості максимальних похибок

. (6.8)

3.Симетричності–в статистичному ряду кількість мінусових похибок приблизно дорівнює кількості плюсових похибок

N_(-_D₎ » N₍₊_D₎. (6.9)

4. Компенсації –граничне значення середнього арифметичного із суми значень випадкових похибок при їх безмежному зростанні наближається до нуля, тобто

. (6.10)

Властивості випадкових похибок лежать в основі розробки методів математичної обробки вимірів.

§ 2. Розподіл імовірностей випадкових похибок

Результати вимірів є випадковими оскільки передбачити їх величину неможливо. Тоді і їх похибки будуть випадковими і для них можна вказати лише межу, в яких вони змінюються згідно з першою властивістю (§1).

Неперервні випадкові похибки можна характеризуватизаконом розподілу, як об’єктивно існуючим зв’язком між випадковими величинами і їх імовірностями.

При багаторазових випробуваннях закон розподілу ряду істинних випадкових похибок можна характеризувати функціями:

1. Інтегральною функцією розподілу

F(D) = P (α£D).(α < D). (6.11)

2. Функцією щільності

, (6.12)

де d– приріст випадкової похибки D.

Звернемося до постулату Гаусса, згідно з яким найбільш імовірним значенням шуканої величини є середнє арифметичне із результатів повторних вимірювань. Скористаємося теоремою:

Якщо випадкові похибки відповідають постулату Гаусса, то законом розподілу випадкових похибок буде нормальний закон. В методі максимальної правдоподібності Фішера (ММП, § 3, розд.4) також доведено, що для нормального закону розподілу випадкових величин оцінкою параметра є середнє арифметичне (формула 4.18).

Функція щільності нормального розподілу випадкових похибок визначиться за формулою

. (6.13)

Для нормованих похибок отримаємо

, (6.14)

оскільки s(t) = 1 ,aM(t) = 0.

Графіки функції щільності показано на рис. 6.2

а– для випадкових похибок D

б– для нормованих випадкових похибок t

а б

Рис. 6.2

Крива похибок Гаусса має такі властивості :

1. Функція j(D)або j(t)парна, тобто симетрична відносно осі ординат

j(+D) = j(-D), або j(+t)= j(-t).(6.15)

2. Як при додатніх, так і від’ємних значеннях функції щільності j(D) та j(t)додатні лежать над віссю абсцис (рис.6.2).

3. Значення функцій j(D)та j(t) максимальні при D= 0та t = 0.

4. Крива похибок має дві точки перегину: справа та зліва від осі ординат, при цьому точки відповідають значенням випадкової середньої квадратичної похибки, тобто |D| = m;|t |= 1.

5. Дотичні до точки перегину відсікають на осі абсцис відрізки, рівні подвійній середній квадратичній похибці ( ±2m).

Інтегральну функцію нормованого нормального закону розподілу похибок t₁, t₂, …, t_nвиражають функцією Лапласа

. (6.16)

Значення функції (6.16) табульовані і приведені в таблиці дод. 1.

За таблицею можна по заданій надійній імовірності визначати інтервал, в якому знаходяться нормовані похибки від –t до + t і навпаки, задавшись інтервалом ±t визначати ймовірність їх появи р.

±D= tm,

або - tm £D £+ tm, (6.17)

де m–середня квадратична похибка вимірів.

§ 3. Числові характеристики рівноточних вимірів

Рівноточними, називають виміри, дисперсії яких рівні між собою, тобто . Тому рівноточні виміри можна виразити статистичним рядом

х₁, х₂, ... , х_п_; . (6.18)

Якщо невідоме істинне значення вимірюваної величини Х,то необхідно знайти значення близьке до істинного. Його називають дійсним, або ймовірним значенням виміряної величини. Воно може бути прийнятим, коли точність вимірів задовольняє поставленим вимогам, або – відхилене. Тому постає задача обчислення за результатами вимірів показників як розміру шуканої величини, так і її точності. Їх називають числовими характеристиками. В теорії похибок вимірів до числових характеристик відносять:

1. Середнє арифметичне

Використаємо ряд вимірів (6.18). Якщо відоме істинне значення вимірюваної величини Х, то визначимо ряд істинних похибок

; (6.19)

Складемо їх і поділимо на п

. (6.20)

За четвертою властивістю компенсації випадкових похибок Dліва частина формули (6.20) наближається до нуля при n®¥.Позначимо середнє арифметичне

. (6.21)

Тоді отримаємо ймовірне співвідношення

. (6.22)

Принцип арифметичного середньогопоказує, що при нескінченній кількості вимірів і відсутності систематичних похибок просте арифметичне середнє наближається до істинного значення.

Це означає, що середнє арифметичне буде найбільш точним, або ймовірним значенням виміряної величини.

В § 2 цього розділу стверджується, що як виміри, так і похибки вимірів при дотриманні “комплексу умов” належать нормальному закону розподілу. Тоді і за методом ММП Фішера (§ 3, розд.4) доведено, що середнє арифметичне буде найбільш близьким до істинного.

Практично число вимірів обмежене, тому і обчислене середнє арифметичне буде випадковою величиною, яка може приймати значення в деякому інтервалі, який залежить від числа вимірів та прийнятої довірчої ймовірності р(§ 5, розд.4).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|	Середня квадратична похибка окремого виміру

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.