МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Розв’язання.Розвинемо функції та в ряд Лорана за степенями (z – 1):
Тоді Отже правильна частина ряду Лорана функції дорівнює . Головна частина цього ряду – §17. Ізольовані, особливіточки Нехай функція f(z) регулярна в кільці 0 < |z – z0| < ρ, але не регулярна в точці z0(z0≠ ∞). Тоді точка z0 називається ізольованою особливою точкою однозначного характеру для функції f(z). Нескінченно віддалена точка називається ізольованою особливою точкою однозначного характеру для функції f(z), якщо функція f(z) регулярна в області ρ < |z| < ∞. В залежності від поведінки функції f(z) в околі точки z0 розрізняють наступні три типи особливих точок. Ізольована особлива точка z0 однозначного характеру f(z)називається: а) усувною особливою точкою, якщо існує і скінченний; б) полюсом, якщо ; в) істотно особливою точкою, якщо не існує. Зв’язок між розкладом функції f(z) в ряд Лорана в околі точки z = z0 та характером особливості цієї точки встановлюється наступними теоремами: Теорема 1. Для того, щоб ізольована особлива точка z0 була усувною особливою точкою функції f(z), необхідно і достатньо, июб головна частина ряду Лорана в околі точки z0 була тотожньо рівною нулю. Теорема 2. Для того, щоб ізольована особлива точка z = z0 була полюсом для функції f(z) і, необхідно і достатньо, щоб головна частина ряду Лорана для функції f(z) в околі точки z0 містила лише скінченне число членів. Теорема 3. Для того, щоб ізольована особлива точка z = z0 була істотно особливою точкою для функції f(z), необхідно і достатньо, щоб головна частина ряду Лорана в околі точки z0 містила нескінченну кількість членів. Завдання 75. довести, що точка z0 є усувною особливою точкою функції f(z): 1) . Розв’язання: Знайдемо границю даної функції при z → 0 Границя існує і скінченна, тому точка z0 = 0 є усувною особливою точкою функції . Завдання 76. Знайти полюси функції f(z), і встановити порядок цих полюсів: 1) ; Розв’язання:Знайдемо нулі знаменника і визначимо їх порядок. z2 – z – 2 = 0при z1 = –1, z2 = 2. Порядок цих нулів другий. Так як при z1 = –1та z2 = 2чисельник не дорівнює і, то це є полюси заданої функції другого порядку. Завдання 77. Довести, що точка z0 є істотно особливою точкою функції f(z). 1) . Розв’язання: Розвинемо дану функцію в ряд Лорана в околі точки z0 = 0: Головна частина цього ряду містить скінчену кількість членів, отже точка z0 = 0 є істотно особливою точкою функції .
Завдання 78. Знайти ізольовані особливі точки аналітичної функції і з’ясувати їх характер: 1) Розв’язання:Ізольованими особливими точками даної функції є точки z1 = 2i, z2 = –2i. Так як це нулі знаменники першого порядку і чисельник в цих точках не дорівнює нулю, то точки z1 = 2i і z2 = –2i є простими полюсами функції .
§18. Лишки. Коефіцієнт С–1 в розкладі в ряд Лорана однозначної аналітичної функції f(z) в околі скінченної ізольованої особливої точки z0 називається лишком цієї функції відносно точки z0і позначається . Лишок через інтеграл подається формулою де Сρ – коло |z – z0| = ρ, 0 < ρ < R. Лишок в усувній точці дорівнює нулю. Якщо точка z = z0 є простим полюсом функції f(z), то лишок в цій точці обчислюється за формулою: Якщо точка z = z0 полюс порядку m функції f(z), то лишок в ній обчислюється за формулою: Лишком функції f(z) в точці z = ∞ (позначається ) називається число –С-1, де С-1 – коефіцієнт при ряду Лорана для функції f(z) в околі нескінченно віддаленої точки. де – коло |z| = ρ, орієнтоване за годинниковою стрілкою. Якщо функція f(z) аналітична в нескінченно віддаленій точці, то де під символом f(∞) розуміють . При обчисленні лишків доцільно використовувати наступне твердження. Нехай функція f(z) регулярна у всій розширенній комплексній площині, за виключенням скінченого числа особливих точок. Тоді сума всіх лишків функції f(z), включаючи лишок в точці z = ∞, дорівнює нулю:
Завдання 79.Знайти лишки функції f(z) в її скінченних ізольованих особливих точках: 1) . Розв’язання:Особливими точками даної функції є точки z = 0 та z = 7. Точка z = 0 – простий полюс. За формулою (1) маємо Точка z = 7 полюс другого порядку, тому за формулою (2) маємо
Завдання 80. Обчислити лишки функції f(z) в усіх особливих точках і в точці z = ∞. 1) . Розв’язання:Особливими точками функції є z1 = –i, z2 = i, z3 = ∞. За формулою (1)
Лишок в нескінченно віддаленій точці знайдемо із співвідношення (3)
19. Обчисленняінтегралівпозамкненомуконтуру. Читайте також:
|
||||||||
|