• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Векторний і подвійний векторний добуток векторів

Означення 3.7.1.Векторним добутком двох ненульових векторів та називається вектор , довжина якого , де – кут між векторами і . Якщо , то вектор перпендикулярний векторам та і спрямований так, щоб трійка векторів була правою (рис.3.6). Векторний добуток векторів і позначають так: або . Якщо або , то вважають .

Рис.3.6. Права трійка векторів

Приклад. Нехай – правий ортонормований базис (рис.3.5 а). Визначити

, .

Розв’язання. Скориставшись означенням векторного добутку векторів, одержимо

. (7.1)

Перейдемо до опису властивостей векторного добутку.

Властивість 1. Векторний добуток тоді й тільки тоді, коли вектори та колінеарні.

4 Þ: Нехай , тоді можливі такі випадки:

1) хоча б один з векторів або є нульовим;

2) кут між двома ненульовими векторами та дорівнює або .

В обох цих випадках вектори та колінеарні.

Ü: Нехай тепер і – колінеарні, тоді кут між ними дорівнює або , або один з векторів нульовий, тому .3

Властивість 2. Векторний добуток – антикомутативний, тобто для будь-яких векторів та :

.

4 Твердження очевидно, якщо та – колінеарні вектори. Нехай і – неколінеарні, отже, і не рівні (нагадаємо, що нульовий вектор є колінеарним будь-якому вектору тривимірного векторного простору). Модулі векторів і , очевидно, рівні. Кожен з них перпендикулярний векторам і . Тому вектори та колінеарні. Якщо трійка векторів права, то трійка – ліва і навпаки, тому , тобто .3

Властивість 3 [2]. Для будь-яких векторів та та для будь-якого дійсного числа вірні рівності:

.

> <

Властивість 4 [2]. Для будь-яких векторів та вірні рівності:

.

> <

Із двох останніх властивостей векторного добутку випливає, що звичайними правилами розкриття дужок можна користуватися при обчисленні векторного добутку лінійних комбінацій векторів, наприклад:

.

Відзначимо, що модуль векторного добутку має простий геометричний зміст.

Властивість 5(геометричний зміст векторного добутку). Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах та , початки яких розміщено в одній точці: .

Рис.3.7. Геометричний зміст векторного добутку

4Дійсно, площа паралелограма , побудованого на неколінеарних векторах і обчислюється за відомою з курсу елементарної математики формулою: . За цією самою формулою визначається і модуль векторного добутку . 3

Формула для обчислення векторного добутку векторів,

Переглядів: 1618