Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Мішаний добуток трьох векторів

Означення 3.8.1.Мішаним добутком векторів називають число .

З означення мішаного добутку випливають наступні його властивості.

Властивість 1. Мішаний добуток дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли один з векторів дорівнює нулю або всі три вектори паралельні одній площині, тобто компланарні.

4Дійсно, якщо один з векторів дорівнює нулю, то очевидно, що . Якщо ж три ненульових вектори компланарні, то ясно, що (або , якщо ║ ), тому .

Навпаки, якщо , то можливі такі варіанти:

1) один з векторів дорівнює ,

2) вектори – ненульові, але ║ ,

3) вектори – ненульові при цьому , тобто паралельні одній площині.

У другому та третьому випадках вектори – компланарні. Таким чином, якщо , то або один з векторів нульовий, або ненульові вектори – компланарні. 3

Властивість 2. Мішаний добуток трьох відмінних від нульового вектору некомпланарних векторів за абсолютним значенням дорівнює об’єму паралелепіпеда, який побудовано на векторах . При цьому, якщо трійка векторів – права, то , якщо ж вона – ліва, то . Вірно й зворотне твердження.

Рис.3.9. Паралелепіпед, що побудовано на векторах

4 Нехай – права трійка векторів (рис. 3.9),тоді кут між векторами і є гострим і тому . Відомо з § 3.7, що є площа паралелограма, який побудовано на векторах і , тобто площа основи паралелепіпеда. Висота паралелепіпеда, як видно з малюнку 3.9, дорівнює . Таким чином, об’єм паралелепіпеда дорівнює . Звідки за означенням скалярного та мішаного добутків векторів . Отже, якщо трійка векторів є правою, то

Аналогічним чином можна переконатися, що у випадку лівої трійки векторів об’єм паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, обчислюється за формулою

Методом доведення від супротивного легко перевірити, якщо , то трійка векторів – права, якщо ж , то трійка – ліва.3

Властивість 3. При циклічному переставленні векторів у мішаному добутку останній не змінюється, тобто . При переставленні двох будь-яких сусідніх векторів у мішаному добутку останній змінює знак, тобто

4Легко переконатися за допомогою малюнка 3.9, що при циклічному переставленні некомпланарних векторів орієнтація нової трійки залишається незмінною, тобто якщо вона була, наприклад, до переставлення правою, то й після переставлення залишається правою. Але тоді за властивістю 2 мішаного добутку . При переставленні двох будь-яких векторів у некомпланарній трійці векторів орієнтація нової трійки буде протилежною по відношенню до вихідної трійки. Тому за властивістю 2 мішаного добутку векторів .3

Примітка. Доведенні рівності вірні також у тому випадку, коли вектори компланарні, бо в цьому випадку =0.

Властивість 4.Для будь-яких векторів та для будь-яких дійсних чисел та вірні рівності:

4Наведені формули є наслідком аналогічних властивостей скалярного та векторного добутків.3

Формула для обчислення мішаного добутку векторів,

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Які задані своїми координатами у правому ортонормованому базисі	\|	які задані своїми координатами у правому ортонормованому базисі

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.