Студопедия
Новини освіти і науки:
Контакти
 


Тлумачний словник






Числові характеристики векторних випадкових величин

Для наближеного опису системи двох випадкових величин, за аналогією зі скалярними величинами, можна ввести числові характеристики – початкові й центральні моменти різних порядків.

Початковим моментом порядку системи двох випадкових величин і називається математичне сподівання добутку на

. (21)

Центральним моментом порядку системи двох випадкових величин і називається математичне сподівання добутку го і го ступенів відповідних центрованих величин

. (22)

Для дискретних випадкових величин

, ,

де ймовірність того, що система двох випадкових величин , прийме значення .

Для неперервних випадкових величин

,

,

де спільна щільність імовірності двох випадкових величин , .

Особливу роль при описі системи випадкових величин грає другий змішаний центральний момент (математичне сподівання добутку центрованих значень випадкових величин)

.

Цей момент називається кореляційним моментом («моментом зв'язку») випадкових величин і , має спеціальне позначення

(23)

і характеризує ступінь статистичної залежності між і .

Необхідно відзначити принципову відмінність статистичної (ймовірнісної) залежності від функціональної (детермінованої).

Нехай, наприклад, до опору прикладається постійна, але випадкова від досліду до досліду напруга . Тоді струм через опір теж буде випадковою величиною, значення якої визначається законом Ома. Така залежність, коли кожному значенню однієї випадкової величини відповідає одне, цілком визначене, значення іншої випадкової величини, є функціональною залежністю між випадковими величинами.

Статистична залежність характеризується тим, що в різних дослідах вона виявляється по-різному. При цьому тому самому значенню однієї випадкової величини можуть відповідати різні значення іншої випадкової величини. Прикладом статистичної залежності між двома випадковими величинами може бути залежність часу безвідмовної роботи радіостанції від часу, який витрачено на її технічне обслуговування, або залежність граничної дальності виявлення повітряного судна від потужності передавача радіолокаційної станції.



Интернет реклама УБС

Для дискретних випадкових величин

, (24)

а для неперервних

. (25)

Доведемо, що для незалежних випадкових величин кореляційний момент дорівнює нулю.

Нехай незалежні, наприклад неперервні, випадкові величини зі спільною щільністю ймовірності . Згідно з (20) для незалежних випадкових величин

,

де щільності ймовірності відповідно величин і .

Підставляючи (20) в (25), одержимо добуток двох інтегралів

.

Кожний із цих інтегралів являє собою перший центральний момент відповідної випадкової величини, що, по визначенню, дорівнює нулю. Отже, для незалежних неперервних випадкових величин 0. Для незалежних дискретних випадкових величин наведене положення доводиться аналогічно.

Таким чином, ознакою наявності залежності між випадковими величинами є відмінність від нуля значення .

З формули (23) слідує, що характеризує не тільки ступінь залежності величин, але і їхнє розсіювання. Дійсно, якщо, наприклад, одна з величин практично не відхиляється від свого математичного сподівання (є практично детермінованою), то 0 при будь-якому ступені статистичної залежності між і . Тому для характеристики винятково ступеня статистичної залежності між випадковими величинами переходять від моменту до коефіцієнта кореляції , що являє собою нормоване (безрозмірне) значення кореляційного моменту

, (26)

де середні квадратичні відхилення відповідно і .

Випадкові величини, для яких 0 (а значить і 0), називаються некорельованими.

Нехай і пов'язані функціональною лінійною залежністю

.

Покажемо, що в цьому випадку коефіцієнт кореляції досягає свого найбільшого по модулю значення, рівного одиниці, а саме, якщо 0, то 1, а якщо 0, то 1 (негативна кореляція спостерігається у випадку, коли збільшення однієї з випадкових величин супроводжується зменшенням іншої).

З функціональної лінійної залежності маємо й, отже, . Тому й . Нарешті

, .

Через те, що дляи незалежних і коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, а свого найбільшого (по модулю) значення він досягає, якщо і пов'язані лінійною залежністю, прийнято трактувати як міру лінійної статистичної залежностіміж і .

Оскільки коефіцієнт кореляції є мірою не всякої, а тільки лінійної залежності між і , можуть зустрічатися випадки, коли він звертається в нуль при залежних і .

Наприклад, споживана потужність і напруга пов'язані відомою функціональною залежністю виду

.

Припустимо, що напруга є випадковою величиною, щільність ймовірності якої парна функція.

Очевидно, що й . Тому

.

Виконуючи обчислення математичного сподівання, отримаємо

,

тому що підінтегральна функція є непарною.

Отже, рівність нулю кореляційного моменту (коефіцієнта кореляції) – необхідна, але недостатня умова незалежності випадкових величин. З незалежності випадкових величин випливає їх некорельованість, а з некорельованості ще не слідує їхня незалежність.




<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
ЛЕКЦІЯ 7 | ЛЕКЦІЯ 8

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:


 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.002 сек.