МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
||||||||
Мішаний добуток трьох векторів.Означення 7. Мішаним добутком впорядкованої трійки векторів називається число, рівне . Якщо кут між векторами та позначити , а кут між векторним добутком та вектором – , то значення мішаного добутку можна обрахувати наступним чином: (7) Властивості мішаного добутку векторів.
Дійсно, площу паралелограма можна визначити, взявши за основу іншу грань, наприклад, утворену векторами та . Тоді маємо . А оскільки орієнтація трійки така сама, як і трійки , то таким чином, бачимо, що у мішаному добутку векторів не має значення, до якої пари множників і чи і застосовувати векторне множення. Власне тому мішаний добуток просто позначають , оскільки важливим виявляється лише порядок множників.
Дана властивість легко випливає із узагальнення властивості 2 та антикомутативності векторного добутку.
Достатність цього твердження була обґрунтована при доведенні першої властивості, тому доведемо тут необхідність. Отже, нехай . Якщо принаймні один з множників є нуль-вектором, то трійка напевне компланарна, тому далі вважатимемо, що всі вектори-множникі ненульові. У такому випадку із формули (7) випливає, що кут – це означає компланарність векторів, або ж кут . В цьому разі вектори і колінеарні, що також означає компланарність векторів . Дана властивість є наслідком відповідних властивостей скалярного та векторного добутків. – дистрибутивність мішаного добутку. Очевидно, що доведення потребує дистрибутивність лише відносно одного з множників, на інші множники вона перенесеться автоматично завдяки властивості 3. Отже, розглянемо Скористаємось доведеною дистрибутивністю скалярного добутку: – що й треба було довести. Повернемось тепер до доведення дистрибутивності векторного добутку. Розглянемо вектор . Його координати – це проекції цього вектора на відповідні орти ПДСК, тому Отже маємо рівність координат . Аналогічно доводиться і рівність двох інших координат векторних добутків та . Тим самим рівність повністю доведено. Знайдемо тепер вираз мішаного добутку через координати векторів-множників. Розглянемо вектори , та . Визначимо їх мішаний добуток. Оскільки , а , то . Остаточно одержуємо формулу
(10)
Зауваження. З формули (10) та властивості 3 мішаного добутку випливає, що визначник матриці розмірності 3 не зміниться при циклічній перестановці рядків і змінить знак на протилежний при перестановці двох рядків. Приклади. 6. Знайдемо об’єм тетраедра з вершинами . Даний тетраедр утворений векторами . Оскільки орієнтація цієї трійки нам невідома, об’єм тетраедра визначатимемо як модуля мішаного добутку векторів :
Читайте також:
|
|||||||||
|