Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Дії над матрицями

Нехай А=і В=- довільно вибраніпрямокутні(m, n) - матриці.

Сумоюматриць А та В називають матрицю S =,де

Записують S=A+B.

Додавання матриць зводиться до додавання всіх пар їхніх відповідних елементів.

Приклад.

Ясно, що операція додавання матриць асоціативна і комутативна, оскільки вона зводиться до додавання елементів матриць. Крім того, А+ θ = θ +А = А, .

Добуткомматриці А=[a_ik] на число λ називають матрицю B=[b_ik], де b_ik=λa_i_k. Записують B=λA.

Множення матриці на число зводиться до множення всіх її елементів на число.

Приклад.

Множення матриці на число асоціативне і дистрибутивне як відносно додавання матриць, так і відносно додавання чисел:

R =;

;

Для означення поняття добутку матриць розглянемо питання про послідовне виконання лінійних перетворень змінних.

Нехай х₁,х₂,…,x_n - упорядкований набір змінних, значеннями яких можуть бути довільні числа,

B=_

довільно вибрана (s,n)-матриця з дійсними елементами.Утворимо такі вирази:

Ясно, що y₁,_,y₂,…,y_n теж є змінними, оскільки вони змінюються залежно від зміни x₁,x₂,…,x_n. Записаний перехід від системи змінних x₁,x₂,…,x_n до системи змінних y₁,y₂,…,y_n називається лінійним перетворенням змінних x₁,x₂,…,x_n у змінні y₁,y₂,…,y_n. Зрозуміло, що це лінійне перетворення повністю визначається своєю матрицею В.

Виконаємо тепер послідовно два лінійних перетворення. Нехай другим перетворенням буде лінійне перетворення змінних y₁,y₂,…,y_s в змінні z₁,z₂,…,z_m:

Матриця цього перетворення має вигляд : A=.

Виразимо тепер змінні z₁,z₂,…,z_m через змінні x₁,x₂,…,x_n, підставивши у другі співвідношення значення y₁,y₂,…,y_s із перших.

z₁=a₁₁(b₁₁x₁+b₁₂x₂+…+b_1nx_n)+a₁₂(b₂₁x₁+b₂₂x₂+…+b_2nx_n)+…+a_1s(b_s1x₁+b_s2x₂+…+b_snx_n)=

=(a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+…+a_1sb_s1)x₁+(a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂+…+a_1sb_s2)x₂+…+(a₁₁b_1n+a₁₂b_2n+…+a_1sb_sn)x_n,

z₂=a₂₁(b₁₁x₁+b₁₂x₂+…+b_1nx_n)+a₂₂(b₂₁x₁+b₂₂x₂+…+b_2nx_n)+…+a_2s(b_s1x₁+b_s2x₂+…+b_snx_n)=

=(a₂₁b₁₁+a₂₂b₂₁+…+a_2sb_s1)x₁+(a₂₁b₁₂+a₂₂b₂₂+…+a_2sb_s2)x₂+…+(a₂₁b_1n+a₂₂b_2n+…+a_2sb_sn)x_n,

……………………………………………………………………………………….

z_m=a_m1(b₁₁x₁+b₁₂x_2+…+b_1nx_n)+a_m2(b₂₁x₁+b₂₂x₂+…+b_2nx_n)+…+a_ms(b_s1x₁+b_s2x₂+…+b_snx_n)=

=(a_m1b₁₁+a_m2b₂₁+…+a_msb_s1)x₁+(a_m1b₁₂+a_m2b₂₂+…+a_msb_s2)x₂+…+(a_m1b_1n+a_m2+…+a_msb_sn)x_n.

Якщо подати отримані співвідношення у вигляді

z₁=c₁₁x₁+c₁₂x₂+…+c_1nx_n

z₂=c₂₁x₁₊c₂₂x₂+…+c_2nx_n

_{………………………………………..}

z_m=c_m1x₁+c_m2x₂+…+c_mnx_nm,

то c_ik=_ijb_jk, де i=1,2,…,m; k=1,2,…,n.

Як видно, результат послідовного виконання двох лінійних перетворень змінних теж є лінійним перетворенням змінних.

Матриця С результуючого лінійного перетворення має вигляд

С =

де c_i_k== a_і1b_1k+ a_i2b_2k+…+ a_isb_sk (i=1,2,…,m; k=1,2,…,n).

Матрицю С і називають добутком матриці А на матрицю В. Позначають С=АВ. Зрозуміло, що множити матриці можна тільки тоді, коли кожен рядок матриці А містить стільки елементів, скільки їх у кожному стовпчику матриці В.

Приклад.

Ясно, що множення матриць некомутативне. Операція множення матриць асоціативна і дистрибутивна відносно додавання:

(АВ)С=А(ВС);

(А+В)С=АС+ВС;

С(А+В)=АС+СВ.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Ускладнення кровотеч	\|	Загальний метод введення параметра.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.028 сек.